Beträge - Rechnen mit Beträgen zurück
Beweis Satz 1:
a-absatz.pcx (280 Byte) Vorbemerkung
Zum Beweis des Satzes müssen wir fünf Fälle betrachten.
    
a-absatz.pcx (280 Byte) Fall 1:
Im Fall 1 sind a und b beide positiv.

A.Dann gilt aufgrund der Definition des Betrages:

    |a|=a    und   |b|=b    

    und somit gilt: |a|·|b|=ab.

B. Andererseits gilt für |ab|: Weil a und b laut Voraussetzung positiv sind,
     ist auch das Produkt a·b positiv. Und aufgrund der Definition des Betrages gilt:

     |ab|=ab

C. Setzen wir die Ergebnisse von A und B gleich, so erhalten wir:

     |a|·|b| = |ab|

    Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen. 

a-absatz.pcx (280 Byte) Fall 2:
Im Fall 2 ist a positiv und b ist negativ.

A.Dann gilt aufgrund der Definition des Betrages:

    |a|=a    und   |b|= –b    

    und somit gilt: |a|·|b| = a·(–b) = –ab

B. Andererseits gilt für |ab|: Weil  laut Voraussetzung a positiv ist und b negativ,
     ist das Produkt a·b negativ. Aufgrund der Definition des Betrages gilt dann:

     |ab| = –ab

C. Setzen wir die Ergebnisse von A und B gleich, so erhalten wir:

     |a|·|b| = |ab|

    Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen. 

a-absatz.pcx (280 Byte) Fall 3:
Im Fall 3 ist a negativ und b ist positiv.

A.Dann gilt aufgrund der Definition des Betrages:

    |a|= –a    und   |b|= b    

    und somit gilt: |a|·|b| = (–a)·b = –ab

B. Andererseits gilt für |ab|: Weil  laut Voraussetzung a negativ ist und b positiv,
     ist das Produkt a·b negativ. Aufgrund der Definition des Betrages gilt dann:

     |ab| = –ab

C. Setzen wir die Ergebnisse von A und B gleich, so erhalten wir:

     |a|·|b| = |ab|

    Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen. 

a-absatz.pcx (280 Byte) Fall 4:
Im Fall 4 sind a und b beide negativ.

A.Dann gilt aufgrund der Definition des Betrages:

    |a|= –a    und   |b|= –b    

    und somit gilt: |a|·|b| = (–a)·(–b) = ab

B. Andererseits gilt für |ab|: Weil a und b laut Voraussetzung negativ sind,
     ist das Produkt a·b positiv. Und aufgrund der Definition des Betrages gilt:

     |ab|=ab

C. Setzen wir die Ergebnisse von A und B gleich, so erhalten wir:

     |a|·|b| = |ab|

    Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen. 

a-absatz.pcx (280 Byte) Fall 5:
Im Fall 5 ist a oder b gleich Null, oder a und b sind beide Null.
Dann wird die linke Seite der Gleichung gleich Null, weil das
Produkt einer Zahl mit der Null gleich Null ist. Auch die rechte
Seite der Gleichung wird aus dem gleichen Grund zu Null:

      |a|·|b| = |ab|

Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen.