Version 1.01 |
Inhalt: Determinanten III zurück |
| Info-Seite | Vorkenntnisse: .... Themen: ...... Infos: www.mathematik.net |
| Laplace'sche Definiton |
Anstatt nach der 1.Zeile (wie in der "alten"
Defintion in Determinanten II) darf man eine Determinante auch nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln. Man erhält den gleichen Wert, als hätte man die Determinante nach der ersten Zeile entwickelt. |
| Beispiel | Beispiel: Entwicklung einer 3-reihigen Determinante |
| 2 Anmerkungen zur Laplace'schen Definition |
Auch die
neue Definition kann man als Formel schreiben. Ein Beweis der neuen Definition wird nicht gegeben. |
| Eigenschaft 1: | Der Wert
einer Determinante ändert sich nicht, wenn man die Zeilen und die Spalten miteinander vertauscht: det A = det AT |
| Eigenschaft 2: | Beim
Vertauschen zweier Zeilen (oder zweier Spalten) ändert eine Determinante ihr Vorzeichen. |
| Eigenschaft 3: | Eine
Determinante wird mit einem reellen Skalar  multipliziert, indem man eine beliebige Zeile (oder Spalte) mit multipliziert. |
| Eigenschaft 4: | Aus einer
Zeile (oder Spalte) kann ein gemeinsamer Faktor vor die Determinante gezogen werden. |
| Eigenschaft 5: | Eine
Determinante hat den Wert 0, wenn zwei Zeilen (oder Spalten) linear abhängig sind. Zwei Zeilen (oder Spalten) sind linear abhängig, wenn gilt: 1. Zwei Zeilen (oder Spalten) stimmen überein. 2. Zwei Zeilen (oder Spalten) sind zueinander proportional. 3. Alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) sind Null. |
| Eigenschaft 6: | Der Wert
einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen (bzw.Spalte) elementweise addiert. |
| Eigenschaft 7: | det (A·B) = det A · det B |
| Praktische Berechnung einer Determinante |
1.Man
benutzt die oben aufgeführte Eigenschaft Nr.6 um die Determinante so umzuformen, daß eine Zeile (oder Spalte) mit möglichst vielen Nullen entsteht. 2.Man entwickelt diese Determinante nach dieser (Zeile oder Spalte) solange, bis nur noch 3-reihige Determinanten vorhanden sind. 3.Die 3-reihigen Determinanten löst man mit der Sarrus-Regel. |