Eine ganzrationale Funktion f(x,y) ist homogen vom Grad n, wenn
die Summe der Exponenten von x und y in jedem
Monom gleich n ist,
d.h. wenn die Homogenität der Monome vom gleichen Grad ist.
Beweis
Laut Voraussetzung ist die Summe der Exponenten von x und y in allen
Monomen gleich n:
Daher ist die Homogenität in allen Monomen gleich n, und wir können
jedes
Monom in der Form xn · fi(y/x)
schreiben:
Weil xn in allen Monomen vorkommt, können wir xn
ausklammern:
Nun erkennt man, dass es sich um eine homogene Funktion vom Grad n
handelt,
denn vor der Klammer steht xn und in der Klammer eine
Funktion von y/x.
Beispiel
Gegeben sei die Funktion f(x,y). Sie besteht im
Beispiel aus vier Termen (Monomen): In jedem Term
ist die Summe der Exponenten von x und y gleich, nämlich gleich neun.
Daher ist die Funktion homogen, und die Homogenität ist vom Grad 9.
Die bedeutet weiter, dass man x9
ausklammern kann, wobei in der Klammer
eine Funktion von y/x übrigbleibt:
Drei weitere Beispiele
1. Die Homogenität der Funktion g(x,y) ist vom Grad 5:
Dies bedeutet, dass man x5 ausklammern kann, und in der Klammer eine
Funktion von y/x übrigbleibt:
2.Die Homogenität der Funktion h(x,y) ist vom Grad 3:
Die bedeutet, dass man x3 ausklammern kann, und in der Klammer eine
Funktion von y/x übrigbleibt:
3.Die Homogenität der Funktion k(x,y) ist vom Grad 100:
Die bedeutet, dass man x100 ausklammern kann, und in der
Klammer eine Funktion von y/x übrigbleibt:
