Die folgende Differentialgleichung ist eigentlich nicht separierbar:
Versucht man nämlich eine Separation, so erhält man auf der rechten Seite
leider kein Produkt
f(x)·g(y),
sondern ein Produkt der Form
f(x,y)·g(x,y)
:
Lösung: Substitution
Ich schreibe die gegebene Differentialgleichung nochmal auf, wobei diesmal
alle Ausdrücke in blau markiert sind, in denen y vorkommt:
Um alle "blauen" Ausdrücke (d.h. Ausdrücke in denen y vorkommt) zu
substituieren,
nehmen wir zuerst folgende Substitution vor:
Außerdem differenzieren wir diese Gleichung nach y, und erhalten dadurch einen
Term,
der ydy substituieren (ersetzen) kann:
Jetzt können wir in der gegebenen Gleichung y², y und dy ersetzen, und erhalten
eine separierbare Gleichung, wobei noch ein paar Tricks nötig sind:
Klammer ausmultiplizieren und rechten Summanden vereinfachen:
Durch x2 dividieren:
Die beiden letzten Brüche auf einen Bruchstrich bringen:
Es fällt ins Auge, dass der rechte Bruch (etwas) der Quotientenregel der
Differentialrechnung ähnelt. Tatsächlich muß man aber die Quotientenregel
umformen
(mit dx multiplizieren) und erhält eine Formel, mit der man den rechten Bruch
vereinfachen kann:
Jetzt können wir diese Formel auf den rechten Bruch anwenden,
wobei h(x)=x und g(x)=v:
Integrieren ergibt:
Auf der linken Seite die Summenregel für Integrale anwenden:
Jetzt löse ich die drei Integrale: Das erste Integral ergibt ln|x|, das zweite
ergibt
(v/x) und das Integral ergibt eine Konstante, die ich c nenne:
Jetzt führen wir die Rücksubstitution y2=v durch und erhalten:
Das ist die impliziete Lösung, denn es
kommen keine Differentiale mehr vor.
