Zunächst wollen wir zeigen, warum die 1.Variante des Lösungsverfahrens
Variablentrennung zwar funktioniert, aber mathematisch nicht korrekt ist.
Dazu betrachten wir nochmals das uns bereits bekannte Einführungsbeispiel:
Wir separieren die Variablen, indem wir die Gleichung mit dx und ey
multiplizieren:
Jetzt integrieren wird beide Seiten, d.h. wir machen auf beiden Seiten ein
Integralzeichen:
Damit haben wir einen Fehler begangen. Es reicht nämlich nicht, auf beiden
Seiten
einfach ein Integralzeichen zu machen. Zum Integrieren gehört auch immer die
Angabe, nach welcher Variable integriert werden soll, d.h. ob nach dx oder dy.
Beispielsweise könnte man beide Seiten nach dx integrieren, und man erhält:
Dies wäre zwar mathematisch korrekt, aber würde zu einem sinnlosen
Ausdruck führen. Daher benutzen manche Autoren folgende Variante:
Die 2.Variante
Wir betrachten dazu nochmals das gleiche Beispiel:
Jetzt multiplizieren wir die Gleichung aber nur mit ey, d.h. wir
bringen den Term
mit der abhängigen Variablen (hier y) auf die Seite des Differentialquotienten:
Jetzt integrieren wird beide Seiten mathematisch korrekt, d.h. wir machen auf
beiden
Seiten ein Integralzeichen und geben an, nach welcher Variable integriert
wird (hier dx):
Auf der linken Seiten kürzen sich die Differential dx weg:
Wir sehen, dass wir das gleiche (Zwischen)ergebnis erhalten, wie bei
der 1.Variante. Der einzige Unterschied: Wir sind mathematisch korrekt
vorgegangen. Aus diesem Grund benutzen viele Professoren und
Buchautoren lieber dieses Verfahren.
