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1.Substitution der gegebenen Gleichung: |
Nun wollen Exponentialgleichungen mit drei Summanden
betrachten, die kein Absolutglied haben:
Nun wandeln wir den ersten und den zweiten Summanden
der Gleichung mit Hilfe eines Potenzgesetzes um. Das
Potenzgesetz das wir benutzen lautet:
Damit wir die ursprüngliche Gleichung zu:
In dieser Gleichung kommt nun dreimal der Ausdruck 5x
vor.
Diesen Ausdruck ersetzen (substituieren) wir nun durch
die neue
Variable, der wir den Namen u.geben. Die Gleichung
lautet nun:
Wir haben also 5x
durch u substituiert, und eine quadratische
Gleichung erhalten. |
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2.Die substituierte Gleichung lösen: |
Als nächstes müssen wir die substituierte Gleichung
lösen:
Dazu klammern wir u aus:
Die Klammer stellt zufällig die 2.Binomische Formel dar.
Wir können daher schreiben:
Nun können wir die Lösungen ablesen:
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| 3.Rücksubstitution
durchführen: |
Wir machen nun die Substitution 5x=u
aus Schritt 1 wieder rückgängig,
und ersetzen u durch 5x
. Wir erhalten zwei Gleichungen:
Gleichung 1 ist unlösbar, weil eine Potenz mit positiver
Basis
niemals zu Null wird. Wir brauchen also nur noch mit
Gleichung 2
weiter rechnen. |
| 4.Rücksubstitutierte
Gleichung lösen: |
Jetzt müssen wir noch die rücksubstituierte Gleichung
2
lösen, wie üblich durch logarithmieren:
Auf der linken Seite wenden wir das Logarithmusgesetz
über den Logarithmus einer Potenz an:
Wir bringen alle Konstanten auf die rechte Seite:
Jetzt können wir x mit dem Taschenrechner ausrechnen:
Dies ist die Lösung der ursprünglichen
Exponentialgleichung. |
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