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Letzte Änderung: 24.3.2010  

Extrema I
Grundlegendes über relative Extrema,
absolute Extrema und Randextrema


Vorwort zum Kapitel

pfeil.pcx (462 Byte) Worum geht es in diesem Kapitel
pfeil.pcx (462 Byte) Notwendige Vorkenntnisse (Diff-Rechnung)

Grundlegendes über Extrema

pfeil.pcx (462 Byte) Relatives (lokales) Minimum
pfeil.pcx (462 Byte) Relatives (lokales) Maximum
pfeil.pcx (462 Byte) Relatives (lokales) Extremum
pfeil.pcx (462 Byte) Absolute und Randextrema
pfeil.pcx (462 Byte) Extremstelle, Extremum und Extrempunkt

pfeil.pcx (462 Byte) Definition des Begriffs Extremum
    über Umgebungen
pfeil.pcx (462 Byte) Steigende und fallende Sattelpunkte
 
Extrema II
Notwendiges und hinreichendes
Kriterium für ein relatives Extremum


Vorwort zum Kapitel
pfeil.pcx (462 Byte) Worum geht es in diesem Kapitel
pfeil.pcx (462 Byte) Die Begriffe "notwendig" und "hinreichend"

Notwendiges Kriterium
pfeil.pcx (462 Byte) Notwendiges Kriterium:  f '(x)=0
pfeil.pcx (462 Byte) Warum das Kriterium nicht hinreichend ist:
    Das Problem der Sattelpunkte

pfeil.pcx (462 Byte) Definition des Begriffs "Kritische Stelle"
pfeil.pcx (462 Byte) Welchen praktischen Nutzen hat das
    notwendige Kriterium  f '(x)=0 denn? 

Notwendiges und hinreichendes Kriterium
pfeil.pcx (462 Byte) Notwendiges und hinreichendes Kriterium
    für einen relativen Extrempunkt
pfeil.pcx (462 Byte) Verständnisfrage
pfeil.pcx (462 Byte) Aufgabe: Grafische Extremaberechnung
pfeil.pcx (462 Byte) Beweis (Version 1 des Beweises) 
pfeil.pcx (462 Byte) Beweis (Version 2 des Beweises)
pfeil.pcx (462 Byte) Unterscheidung zwischen Maxima und Minima
pfeil.pcx (462 Byte) Verständnisfrage



 
Extrema III
Praktische Methoden zur Bestimmung eines relativen Extremums

Vorwort zum Kapitel
pfeil.pcx (462 Byte) Worum geht es in diesem Kapitel

Methode 1: Tabellenverfahren

pfeil.pcx (462 Byte) Erklärung der Methode
pfeil.pcx (462 Byte) Beispiel mit einem Extremum
pfeil.pcx (462 Byte) Vorgehensweise bei mehreren Extrema
pfeil.pcx (462 Byte) Beispiel mit mehreren Extrema
pfeil.pcx (462 Byte) Beispiel mit Sattelpunkten
pfeil.pcx (462 Byte) Vorgehensweise bei Polstellen
pfeil.pcx (462 Byte) Beispiel mit Polstellen

Methode 2: Grenzwertberechnung
pfeil.pcx (462 Byte) Erklärung der Methode
pfeil.pcx (462 Byte) Beispiel

Methode 3: Untersuchung der 2.Ableitung
pfeil.pcx (462 Byte) Erklärung der Methode
pfeil.pcx (462 Byte) Beispiel 
pfeil.pcx (462 Byte) Beweis: Wenn f '=0 und f "(x) ungleich Null,
    dann liegt ein Extremum vor
pfeil.pcx (462 Byte) Beweis: Keine Aussage möglich wenn f "(x)=0
   

Methode 4: Ermittlung der ersten nichtverschwindenden Ableitung
pfeil.pcx (462 Byte) Erklärung der Methode
pfeil.pcx (462 Byte) Beispiel mit Extremum
pfeil.pcx (462 Byte) Beispiel mit Sattelpunkt
pfeil.pcx (462 Byte) Beweis für Extrema (Fall: Minimum)
pfeil.pcx (462 Byte) Beweis für Sattelpunkte (Fall: Steigend)

Videos (nur online)
pfeil.pcx (462 Byte) Beispiel zur Methode 3
pfeil.pcx (462 Byte)
Beweis der Methode 3

Zusammenfassung 
pfeil.pcx (462 Byte) Zusammenfassung

Übungen

Ganzrationale Funktionen (PDF-Format)

pfeil.pcx (462 Byte) Extrema von ganzrationalen Funktionen
    Lösungsmethode: Tabellenverfahren
    Umfang: 38 Seiten hier klicken
pfeil.pcx (462 Byte) Extrema von ganzrationalen Funktionen
    Lösungsmethode: 2.Ableitung untersuchen
    Umfang: 35 Seiten hier klicken
pfeil.pcx (462 Byte) Extrema von ganzrationalen Funktionen
    Lösungsmethode: 2.Ableitung+Tabellenverfah.     Umfang: 24 Seiten hier klicken
pfeil.pcx (462 Byte) Extrema von ganzrationalen Funktionen
    Lösungsmethode: 2.Ableitung+Grenzwertmeth.     Umfang: xx Seiten
  (geplant)

Gebrochen. rat. Funktionen (PDF-Format)
pfeil.pcx (462 Byte) Extrema gebrochen rationaler Funktionen
    Lösungsmethode: Tabellenverfahren
   
Umfang: 63 Seiten Hier klicken
pfeil.pcx (462 Byte) Extrema gebrochen rationaler Funktionen
    Lösungsmethode: 2.Ableitung untersuchen
   
Umfang: 38 Seiten Hier klicken
pfeil.pcx (462 Byte) Extrema gebrochen rationaler Funktionen
    Lösungsmethode: Grenzwertmethode
    Umfang: 23 Seiten Hier klicken
    (In Arbeit - teilweise fertig)


Nicht-rationale Funktionen (PDF-Format)
pfeil.pcx (462 Byte) Extrema nicht-rationaler Funktionen (geplant)

Textaufgaben: 
pfeil.pcx (462 Byte) Kursberechnung mit Kapitän Josef
    (Bilder noch konvertieren) 
 

Links zu anderen Webseiten:
www.schule.at - Linksammlung zur Differentialrechnung