Methode 3:
Zweite Ableitung untersuchen |
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Einleitung |
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Mit der folgenden Methode (Untersuchung der 1. und 2.Ableitung) kann
man oft
(aber nicht immer) ein Extremum rechnerisch bestimmen. Falls
diese Methode
versagt,
muß auf das vorige Tabellenverfahren zurückgegriffen werden, oder auf
die "Methode der 1. nichtverschwindenen Ableitung", die wir später
kennenlernen.
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Satz |
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Gegeben sei eine Funktion f(x) und eine Stelle x0.
Außerdem sei die erste Ableitung f '(x) an dieser Stelle
gleich Null: f '(x0)=0
Dann gibt es drei Möglichkeiten:
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Beispiel: |
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Gegeben sei eine Funktion f(x):
Wir bestimmen die erste Ableitung:
Wir setzen die erste Ableitung gleich Null:
Wir lösen diese (reinquadratische) Gleichung:
Wir bilden die 2.Ableitung:
Wir setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung
ein:
Jetzt können wir den oben genannten Satz anwenden:
Weil bei x=–2 die 2.Ableitung kleiner alsNull ist, liegt dort ein
Maximum vor.
Weil bei x=2 die 2.Ableitung größer als Null ist, liegt dort ein
Minimum vor.
Wir bestimmen noch die y-Koordinaten, indem wir die berechneten
x-Koordinaten in die gegebene Gleichung f(x) einsetzen:
Die Koordinaten der Extrema lauten also:
Bild:
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