Extrema ZURÜCK
Methode 1:
Tabelle anlegen
a-absatz.pcx (280 Byte) Worum geht es auf dieser Seite
Auf den vorigen Seiten haben wir theoretisch gelernt, welche Bedingungen vorliegen müssen,
damit eine Stelle x0 eine Extremstelle ist: Ein Extremum an der Stelle x0 liegt genau dann vor,
wenn die erste Ableitung dort Null ist und wenn sie an der Stelle x0 ihr Vorzeichen wechselt:


Die erste Bedinung, d.h. f '(x0)=0 , ist leicht zu überprüfen. Man muß nur die
erste Ableitung berechnen und sie dann mit Null gleichsetzen. Die zweite Bedingung,
d.h. der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle x0 ,
ist ebenfalls leicht zu überprüfen. Eine der möglichen Methoden dazu ist das
Tabellenverfahren, das wir hier vorstellen:
    
a-absatz.pcx (280 Byte) Die Lösungsidee des Tabellenverfahrens
Um den "Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung" an einer Stelle x0 zu überprüfen,
muß man eine Stelle kurz vor der Stelle x0 und eine Stelle kurz nach der Stelle x0 wählen.
Dann berechnet man das "Vorzeichen der ersten Ableitung" an diesen Stellen.
Wechselt das Vorzeichen, dann liegt ein Extremum vor; bleibt es gleich, dann liegt
ein Sattelpunkt vor.
     
a-absatz.pcx (280 Byte) Die Theorie des Tabellenverfahrens
Gegeben sei die Funktion f(x)=x2–4x+5.
Wie man sieht, hat sie ein Minimum.
Wir wollen zeigen, wie man das Minimum
rechnerisch ermittelt.
Wir berechnen und zeichnen ihre 1.Ableitung f '(x).
Sie lautet f '(x)=2x–4 und ist im Bild links zu sehen.
Jetzt berechnen wir mögliche Extremstellen, indem
wir die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen.
Dazu setzen wir die erste Ableitung gleich Null:
2x–4=0. Die Lösung dieser Gleichung ist x=2.
Die Stelle x=2 ist also eine mögliche Extremstelle,
die wir nun weiter untersuchen.
Nun wählen wir einen Punkt vor der Stelle x0
und einen Punkt nach der Stelle x0. Wir wählen
x=1 und x=3. Dann berechnen wir das "Vorzeichen
der ersten Ableitung" an diesen Stellen, indem wir
die Funktionwerte berechen: f '(1)=–2 bzw. f '(3)=+2.
Weil das Vorzeichen wechselt, liegt ein Extremum
vor (Anmerkung: Natürlich kann man den Vorzeichen-
wechsel im Bild auch ohne Rechnung erkennen).
  Jetzt müssen wir nur noch überlegen, ob ein Minimum
oder ein Maximum vorliegt. Wir lernten bereits:
Wenn das Vorzeichen der 1.Ableitung von negativ
zu positiv wechselt, dann liegt ein Minimum vor.

Das praktische Verfahren wird auf der nächsten Seite erklärt.