Die praktische
Berechnung eines
Extremums mit
der Methode der
Grenzwertberechnung |
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Grenzwertmethode als
Abwandlung der Tabellenmethode |
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Wir haben bereits kennengelernt, wie man ein Extremum an der Stelle
x0
mit der Tabellenmethode praktisch berechnet:
Man berechnet die Steigung (1.Ableitung) der Funktion vor und kurz nach
der Stelle x0 , d.h. an den gelben Punkten. Wechselt die
Steigung ihr
Vorzeichen, dann liegt ein Extremum vor, ansonsten ein Sattelpunkt.
Im Bild ist die Steigung vor dem blauen Punkt positiv, und nach
dem blauen Punkt negativ. Es liegt also ein Maximum vor:
Die Grenzwertmethode ist nun eine Abwandlung dieser Tabellenmethode.
Dabei berechnet man die Steigung nicht irgendwo vor und nach dem
zu
untersuchenden Punkt, (blauer Punkt), sondern unendlich nahe vor
und
unendlich nahe nach dem zu untersuchenden Punkt.
Mit anderen Worten: Man berechnet den linkseitigen und den rechtseitigen
Grenzwert der Steigung (Ableitung) an der Stelle x0 (blauer
Punkt):
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Vorteil der Methode |
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Da wir bei der Grenzwertberechnung unendlich nah an den zu
untersuchenden
(blauen) Punkt herangehen, kann kein Pol dazwischen liegen, an dem sich
(wie wir bereits wissen) die Steigung eventuell ändern kann. Wir müssen
also
bei dieser Methode keine Tabelle aufstellen und uns überhaupt nicht um
Pole
kümmern.
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Anmerkung: Alternatives
Verfahren |
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Alternativ könnte man auch Grenzwerte der Funktion (und nicht der
Ableitung)
berechnen. Liegen beispielsweise beide Grenzwerte unterhalb des
Funktionswertes
an der Stelle x0, so liegt ein Maximum vor:
Allerdings bringt das keinen Vorteil, denn die erste Ableitung muß sowieso
bestimmt werden, um überhaupt die (blauen) Stellen zu ermitteln,
an denen möglicherweise ein Extremum vorliegt.
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