Gleichungen                                                                              

Eine nicht-injektive
Funktion anwenden ist
eine Folgeumformung (Implikation)
a-absatz.pcx (280 Byte) Satz
 

Macht man beide Seiten einer Gleichung zum Argument einer nicht-injektiven Funktion,
dann ist dies keine Äquivalenzumformung, sondern eine Folgeumformung (Implikation),
d.h. es können Scheinlösungen entstehen.

Die Scheinlösungen kann man aber durch eine Probe herausfiltern.

Natürlich muss die nicht-injektive Funktion wieder einen ausreichend großen
Definitionsbereich haben, damit nicht ein undefinierter Ausdruck entsteht.

    
a-absatz.pcx (280 Byte) Erklärung

Wir betrachten die folgende Funktion; sie hat die Lösungsmenge {5}:
  
     
  
Nun quadrieren wir die Gleichung, d.h. wir machen beide Seiten der Gleichung
zum Argument der Quadratfunktion, die eine nicht-injektive Funktion ist:
  
    

Wir vereinfachen:



Zur Lösungsmenge L={5} ist eine sogenannte "Scheinlösung" hinzugekommen,
nämlich die Zahl –5. Man kann Scheinlösungen aber erkennen, indem man sie
in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. d.h. indem man die Probe macht:
Setzt man –5 in die erste Gleichung ein, so erhält man die unwahre Aussage –5=5,
und somit ist –5 keine Lösung der ursprünglichen Gleichung, sondern eine Scheinlösung.