Gleichungen

Ist Radizieren eine
Äquivalenzumformung?
a-absatz.pcx (280 Byte) Erklärung
Oft liest man in Büchern, dass Radizieren keine Äquivalenzumformung sei
weil Lösungen verloren gehen können. Als Beispiel wird folgende Rechnung
angegeben:



Die Lösung geht jedoch nicht, wie in den Büchern behauptet, beim
Radizieren verloren, denn sowohl die erste als auch die zweite Gleichung
haben die gleiche Lösungsmenge: L={–2,2}.

Die Lösung geht erst zwischen der zweiten und dritten Gleichung verloren.
Der Grund: Potenzieren und Radizieren heben sich nicht auf, denn die Wurzelfunktion
ist nicht die Umkehrfunktion der Potenzfunktion, sondern nur die Umkehrfunktion
der eingeschränkten Potenzfunktion (d.h. der Definitonsbereich ist auf R+ eingeschränkt).

Die richtige Rechnung haben wir bereits kennengelernt: Man wendet ein
Gesetz über Beträge an:


   
Die Aussage, dass Radizieren keine Äquvalenzumformung sei, ist also falsch.
Radizieren ist, wie das Anwenden aller injektiven Funktionen, eine Äquivalenzumformung,
(wobei selbstverständlich kein undefnierter Ausdrück entstehen darf).