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Gruppen I                                                              ZURÜCK

Abgeschlossenheit
der Verknüpfung
a-absatz.pcx (280 Byte)Vorbemerkung
      In der "Definition einer Gruppe" haben wir gesagt, daß eine
      Gruppe aus einer Menge und einer Verknüpfung in ihr besteht.
      Die Verknüpfung muß aber über ein paar besondere Eigenschaften
      verfügen, z.B. muß sie auf der Menge "abgeschlossen" sein.

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Wiederholung: Abgeschlossene Verknüpfung
       Abgeschlossenheit in einer Menge G bedeutet folgendes:
       Wenn man zwei Elemente der Menge G verknüpft, dann ist
       das Ergebnis auch wieder ein Element der Menge G.  

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Beispiel: Abgeschlossene Verknüpfung
       Um ein Beispiel für eine abgeschlossene Verknüpfung
       anzugeben, wählen wir folgende Menge und Verknüpfung:

           Gegeben sei die Menge der geraden Zahlen und die
           Verknüpfung die Addition gerader Zahlen.
           Addiert man zwei gerade Zahlen, dann ist das Ergebnis
           wieder eine gerade Zahl, z.B.:

             2 + 2 = 4            102 + 300 = 402          70 + 70 = 140

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Beispiel: Nichtabgeschlossene Verknüpfung
       Um ein Beispiel für eine nicht abgeschlossene Verknüpfung
       anzugeben, wählen wir folgende Menge und Verknüpfung:

           Gegeben sei die Menge der ungeraden Zahlen und die
           Verknüpfung die Addition ungerader Zahlen.
           Addiert man zwei ungerade Zahlen, dann kann eine Zahl
           herauskommen, die nicht ungerade, also gerade ist, z.B.:

             3 + 3 = 6

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Abgeschlossenheit unserer Beispiel-Gruppe
       Nun müssen wir natürlich überprüfen, ob unsere Beispiel-
       Verknüpfung R die Forderung nach Abgeschlossenheit erfüllt:

           Da die Addition zweier 2x2 Matrizen wieder eine 2x2 Matrix
           ergibt, ist die Verknüpfung Addition in der Menge der
           2x2 Matrizen abgeschlossen.

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Andere Formulierung für Abgeschlossenheit
      Anstatt zu sagen, die Verknüpfung ist auf der Menge G abgeschlossen,
      kann man auch sagen: Die Verknüpfung ist eine innere Verknüpfung
      auf der Menge G, also eine Verknüpfung der Art: G×Gl-subj.pcx (204 Byte)G