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Gruppen I                                                              ZURÜCK

Kommutative
Gruppen
a-absatz.pcx (280 Byte)Vorbemerkung
       Die bis jetzt geschilderten Eigenschaften und Gesetze reichen aus,
       damit man von einer Gruppe reden darf. Auf dieser Seite wollen
       wir eine besondere Art von Gruppen kennenlernen, die sogenannten
       kommutative Gruppen, die auch abelsche Gruppen genannt werden
       (nach dem Mathematiker Niels Abel).

a-absatz.pcx (280 Byte)
Wiederholung: Kommutativität
       Zuerst wollen wir zur Schulmathematik zurückspringen,
       und den Begriff "Kommutativität" wiederholen.
       Nehmen wir an, wir addieren folgende zwei natürliche Zahlen:

              3 + 5 = 8

       Vertauscht man die Zahlen 3 und 5, so erhält man das gleiche Ergebnis:

              5 + 3 = 8

       Man sagt deshalb, die Addition natürlicher Zahlen ist kommutativ.
       Gegenbeispiel: Die Division ist nicht kommutativ:

              10 : 2 = 5
              2 : 10 = 0.2

a-absatz.pcx (280 Byte)
Kommutativität in unserer Beispiel-Gruppe
       Nun stellt sich die Frage, ob auch unsere Beispiel-Gruppe
       eine kommutative Gruppe ist. Sie ist es, denn es gilt:
      gr1s9p1.pcx (5569 Byte)
        Beweis: Die Beweisidee ist die gleiche, wie beim Beweis der
        Assoziativität. Da die Matrixaddition komponentenweise
        definiert ist, braucht man nur zu beweisen:

                 a+b = b+a          für alle Elemente a, b