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Gruppen IV ZURÜCK

Untergruppen

Definition einer Untergruppe
Nun wollen wir definieren, was man unter einer Untergruppe G'
der Gruppe G versteht:

Gegeben sei eine Gruppe G und ein Gebilde G'. Das Gebilde G'
nennt man dann Untergruppe G' der Gruppe G, wenn das
Gebilde G' folgende drei Bedingungen erfüllt:

G' liegt die gleiche Verknüpfung R zugrunde wie G

G' liegt eine nichtleere Teilmenge G' der Menge G zugrunde

Das Gebilde G' ist selbst wieder eine Gruppe

         ^* Gebilde = Eine Menge und eine Verknüpfung, wobei die
                             Verknüpfung keine Axiome erfüllen muß

Anmerkungen zu Punkt 3
       Punkt der Definition sagt, daß das Gebilde G' auch selbst
       eine Gruppe sein muß, um sich Untergruppe nennen zu dürfen.
       Dazu muß man überprüfen, ob die Gruppenaxiome auch in
       der Teilmenge G' gültig sind.

        Ist die Verknüpfung R auch in der Teilmenge G' abgeschlossen
        Gilt auch in der Teilmenge das Assoziativgesetz
        Existiert innerhalb der Teilmenge G' ein neutrales Element
        Existiert in zu jedem Element g' der Teilmenge G' ein
             inverses Element (g')^-1, daß ebenfalls zur Teilmenge gehört

       Eine Untergruppe ist somit folgendermaßen aufgebaut:

        gr4s2p1.pcx (11703 Byte)