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Die imaginäre Einheit |
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Einleitung |
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In diesem Kapitel werden wir die imaginären Zahlen behandeln.
Imaginäre Zahlen sind ein Sonderfall der komplexen Zahlen.
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Wozu imaginäre Zahlen |
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Auf die imaginären Zahlen stieß man, als man Gleichungen der
folgenden Art zu lösen versuchte:
Die Gleichung ist in R nicht lösbar, d.h. es gibt keine reelle Zahl R,
die eine Lösung dieser Gleichung ist. Dies erkennt man, wenn man
beide Seite der Gleichung quadriert. Man erhält:
Nun sieht man: Die Gleichung hat keine Lösung in R, denn gleichgültig
welche reelle Zahl ich für x einsetzt: Die linke Seite wird nie negativ,
und somit auch nicht gleich –1.
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Wir führen die imaginäre
Einheit i ein |
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Wir haben gerade gezeigt, dass die Quadratwurzel aus –1 keine Lösung haben
kann:
Der Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) löste dieses Problem nun,
indem er einfach eine neue Zahl "erfand", welche die Lösung dieser
Gleichung
sein sollte, also die Wurzel aus –1.
Er nannte diese Zahl i die "imaginäre Einheit":
Quadriert man beide Seiten und vertauscht die Seiten der Gleichung,
so erhält man die andere wichtige Schreibweise:
Die imaginäre Einheit i kann man also auch als eine Zahl betrachten,
deren Quadrat die negative Zahl –1 ergibt.
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Anwendung: Quadratwurzel aus
negativen Zahlen |
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Nach der Einführung der imaginären Einheit i ist es uns möglich, auch
aus
negativen Zahlen eine Quadratwurzel zu ziehen. Beispiel:
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Probleme mit der imaginären
Einheit |
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Der Name "imaginär" bedeutet übrigens "eingebildet". Lange Zeit haben
die Menschen nämlich nicht geglaubt, dass es die imaginäre Einheit gibt,
denn das Quadrat einer Zahl kann ja nicht negativ werden.
Man bedenke aber, dass die Menschen auch lange Zeit die negativen
Zahlen abgelehnt haben, weil sie sagten: "Man kann zwar 2,5,10 oder 100
Kühe haben, aber ein Bauer kann nicht –2 Kühe haben, also eine negative
Anzahl von Kühen. Erst mit der Einführung der Banken bekamen die
negativen Zahlen einen Sinn: Man interpretierte sie als Schulden.
Um die Existenz der imaginären Einheit zu erforschen, ist es viel
wichtiger
zu untersuchen, ob diese "neue Zahl" nicht dazu führt, das die "alten"
Rechengesetze ihre Gültigkeit verlieren. Wir werden später darauf
eingehen.
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Übrigens: Elektrotechniker
schreiben j statt i |
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Übrigens: Elektrotechniker schreiben für die imaginäre Einheit j anstatt i,
weil in der
Elektrotechnik der Buchstabe i für die Stromstärke reserviert ist.
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