Beispiel mit zusätzlichem Problem

Dies ist die gegebene Gleichung. Der Exponent ist ein Logarithmus.
Weil wir zu Beginn der Rechnung noch nicht wissen können, ob der Exponent (Logarithmus) eine gerade Zahl, eine ungerade oder eine reelle Zahl ist, müssen wir zur Sicherheit Betragszeichen setzen, wenn wir das 3.Logarithmusgesetz anwenden: wpe6.jpg (1618 Byte)
Wir machen um den linken Logarithmus auch Betragszeichen. Durch den Trick erhalten wir aber zwei gleiche Logarithmen. Aber dürfen wir das? Ja, denn durch das Setzen von Betragszeichen können keine Lösungen verlorengehen, sondern nur welche hinzukommen. Diese Scheinlösungen würden wir aber am Ende der Rechnung erkennen, wenn wir die Probe machen. wpe8.jpg (1712 Byte)
Wir fassen die Logarithmen zusammen: wpeA.jpg (1409 Byte)
Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen: wpeB.jpg (1850 Byte)
Wurzel und Potenz heben sich auf: wpeF.jpg (1299 Byte)
Äußere Betragsgleichung lösen: wpe10.jpg (1293 Byte)
Definition des Logarithmus anwenden (wie in Kapitel 1): wpe11.jpg (1622 Byte)
Wir erhalten die vier Ergebnisse: wpe12.jpg (1885 Byte)
Die Probe ergibt, dass nur die beiden positiven Ergebnisse richtig sind, denn für negative Zahlen ist ja der Logarithmus im Exponenten nicht definiert: