Polynomgleichungen

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Lösen einer
Polynomgleichung
durch Substitution
a-absatz.pcx (280 Byte)

Anwendbarkeit

Wir betrachten nun Polynomgleichungen, bei denen
"der Exponent des niedrigsten Gliedes in dem x vorkommt"
ein Teiler der Exponenten der höheren Glieder ist.
Im Beispiel ist 2 ein Teiler von 4 und 6:

         7x6+8x4+9x2 +12 = 0

Dann kann die Polynomgleichung durch Substitution
vereinfacht oder sogar gelöst werden.
 

a-absatz.pcx (280 Byte)

Beispiel

Folgende Gleichung soll gelöst werden:

a-1.pcx (190 Byte)      x4–32x2+256 = 0

Nun wird x2 durch z substituiert (ersetzt), wodurch
wir eine quadratische Gleichung erhalten:

a-1.pcx (190 Byte)     z2–32z+256 = 0

Solche Gleichungen lösen wir normalerweise mit
der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Hier liegt aber zufälligerweise ein 2.Binom vor,
sodass wir auch ohne Lösungsformel auskommen:

a-1.pcx (190 Byte)     (z–16)2 = 0

Wir können die Lösung ablesen. z=16. Nun müssen wir die
Rücksubstituion (z=x2) durchführen, und erhalten:

a-1.pcx (190 Byte)     16=x2   woraus folgt::   x= ±4

Die ursprüngliche Gleichung a-1.pcx (190 Byte) hat also die Lösung: x= ±4.