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Die Produktform einer Polynomungleichung |
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Definition |
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Die Produktform einer Polynomungleichung liegt vor, wenn auf
der
einen Seite der Ungleichung die Zahl Null steht, und auf der
anderen Seite
eine Produkt aus Polynomen. Die Polynome sind dabei entweder
Linearfaktoren oder sie sind nicht in Linearfaktoren zerlegbar. |
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Erklärung |
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Auf der vorigen Seite haben wir Polynomungleichungen der "normalen" Form
kennengelernt. Beispiel:
Die Definition sagt nun, dass man von der Produktform der
Polynomungleichung
spricht, wenn auf einer Seite der Ungleichung die Zahl Null steht, und
auf der
anderen Seite ein Produkt von Polynomen, wobei die Faktoren
entweder
Linearfaktoren sein müssen oder Polynome, die nicht in Linearfaktoren
zerlegt
werden können:
Im Beispiel besteht die linke Seite der Ungleichung aus dem Produkt
dreier Polynome, wobei die ersten beiden Faktoren Linearfaktoren sind,
da x in ihnen nur linear (in der ersten Potenz) vorkommt.
Der dritte Faktor kann nicht in Linearfaktoren zerlegt werden.
Der dritte Faktor ist nämlich ein Polynom, dass keine Nullstellen hat,
und daher kann das Polynom nicht weiter zerlegt werden (mehr dazu
unten).
Am einfachsten ist eine Polynomungleichung übrigens zu lösen, wenn sie
nur
aus Linearfaktoren besteht.
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Normale Form in Produktform
umwandeln |
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Wir wollen nun kurz wiederholen, wie man die "normale" Form einer
Polynomungleichung in die Produktform umwandelt. Gegeben sei:
Um das Polynom in ein Produkt zu zerlegen (möglichst in Linearfaktoren),
bestimmt man die Nullstellen des Polynoms, indem man das Polynom mit
Null gleichsetzt:
... und diese Gleichung dann löst (den Lösungsweg geben wir hier nicht
an):
Aufgrund des Zerlegungssatzes kann man das Polynom nun in folgende
Faktoren zerlegen (x–1), (x–3), (x–5) und (x+7). Die Ungleichung
wird zu:
Im Beispiel konnten wir das Polynom auf der linken Seite der Ungleichung
vollständig in Linearfaktoren zerlegen. Das ist nicht immer der
Fall.
Manchmal läßt es sich nur teilweise oder sogar garnicht zerlegen:
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Nicht zerlegbare Polynome |
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Betrachten wir nun die folgende Polynomungleichung:
Wir setzen das Polynom mit Null gleich, um die Nullstellen zu berechnen:
Diese Gleichung hat jedoch keine Lösung. Daher hat das Polynom
keine Nullstellen, und es ist nicht in die Produktform zerlegbar.
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Teilweise zerlegbare
Polynome |
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Betrachten wir nun die folgende Polynomungleichung:
Wir setzen das Polynom mit Null gleich, um die Nullstellen zu berechnen:
Eine Gleichung 3.Grades kann bis zu drei Lösungen haben. Die Gleichung
hat jedoch nur eine Lösung, nämlich x=1 (den Rechenweg lassen wir weg).
Daher ist sie nur teilweise zerlegbar. Um die Produktform zu erhalten,
dividieren wir das Polynom durch (x–1), wobei wir die Polynomdivision
in einem früheren Kurs kennenlernten:
Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung nun mit (x–1) und erhalten
so
die Produktform des Polynoms (x2+2x+2)·(x–1) bzw. die
Produktform der
Polynomungleichung:
Wie gesagt ist dies zwar die Produktform, jedoch ist sie nur teilweise
in Linearfaktoren zerlegt. |
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