Beweis des
Potenzgesetz
1a / Fall 1 |
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Fall 1: Beide Exponenten sind negativ |
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Wir wollen das Potenzgesetz 1a für ganzzahlige
Exponenten
beweisen, und zwar den Fall, daß beide Exponenten negativ sind:
Weil r und s negativ sind, dürfen wir sie als Beträge schreiben:
Eingesetzt in die Gleichung 0 (linke Seite) ergibt sich:
Nun wenden wir die Definition von Potenzen mit negativen
Exponenten an: Wenn man den Kehrwert der Potenz bildet,
wechselt der Exponent sein Vorzeichen:
Die Brüche zusammen schreiben:
Weil im Nenner zwei Potenzen mit positiven Exponenten vorliegen,
dürfen wir das (alte) Potenzgesetz für natürliche Exponenten
anwenden, und erhalten:
Nun wenden wir nochmals die Definition von Potenzen mit
negativen Exponenten an und erhalten:
Das Minuszeichen bringen wir in die Klammer. Dann ersetzen
wir wieder -|r| durch r, und -|s| ersetzen wir wieder zu s:
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