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Potenzen II                                                                               ZURÜCK

Beweis des
Potenzgesetz
1b / Fall 2
a-absatz.pcx (280 Byte) Fall 2: Einer der Exponenten ist negativ
Wir wollen das Potenzgesetz 1b für ganzzahlige Exponenten
beweisen, und zwar den Fall, daß einer der Exponenten negativ
ist. Als Beispiel sei der zweite Exponent (also s) negativ:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Weil s laut Voraussetzung negativ ist, dürfen wir schreiben:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Eingesetzt in die erste Gleichung (linke Seite) ergibt sich:

p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Nun wenden wir auf den Nenner die Definition von Potenzen mit
negativen Exponenten
an: Wenn man den Kehrwert der Potenz
bildet, wechselt der Exponent sein Vorzeichen:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Aus der Bruchrechnung wissen wir: Eine Zahl wird durch einen
Bruch dividiert, indem man die Zahl mit den dem Kehrwert des
Nenners multipliziert:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Weil beide Potenzen positive Exponenten haben (Beträge sind ja
immer positiv) dürfen wir das (alte) Potenzgesetz für natürliche
Exponenten anwenden, und erhalten:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)
Am Anfang des Beweises hatten wir s ersetzt:  s=-|s| 
Wir formen diese Gleichung um:  s=-|s|  l-aequiv.pcx (217 Byte)  -s=|s|
Wir dürfen also |s| durch -s ersetzen, und erhalten:
p03s52p0.pcx (4822 Byte)