Quadratische Gleichungen
Beweis des
Zerlegungssatzes
a-absatz.pcx (280 Byte) Gegeben
Q11s30p1.pcx (10646 Byte)
a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis
In der Gleichung 1 klammern wir a aus, und erhalten Gleichung 2::
Q11s30p1.pcx (10646 Byte)
Die Nullstellen der Gleichung sind natürlich immer noch x1 und x2.
Weil a aber laut Vorraussetzung nicht Null werden kann, müssen
die Nullstellen x1 und x2 auch die Nullstellen sein die entstehen,
wenn man die Klammer gleich Null setz. Für die Lösungen gilt
dann der Satz von Vieta:
Q11s30p1.pcx (10646 Byte)
Nun können wir b/a bzw. c/a in Gleichung 2 ersetzen:
Q11s30p1.pcx (10646 Byte)
Die runde Klammer ausmultiplizieren:
Q11s30p1.pcx (10646 Byte)
Aus den ersten beiden Summanden in der Klammer x ausklammern,
aus den letzten beiden Summande x2 ausklammern:
Q11s30p1.pcx (10646 Byte)
Nun die Klammer (x–x1) ausklammern:
Q11s30p1.pcx (10646 Byte)
Die eckige Klammer entfällt:
Q11s30p1.pcx (10646 Byte)
Durch Gleichsetzen dieser letzten Gleichung mit der Gleichungen 1
erhalten wir den Zerlegungssatz:
Q11s30p1.pcx (10646 Byte)