Approximation
durch Polynome
höheren Grades |
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Erklärung |
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Bis jetzt haben wir Funktionen nur durch Polynome 1. und 2.Grades
approximiert, nämlich durch die Tangentengerade und die
Schmiegeparabel.
In diesem Kapitel wollen wir die Taylorformel kennenlernen, mit der man
auch Approximationpolynome höheren Grades leicht berechnen kann,
wobei
Tangentengerade und Schmiegeparabel Sonderfälle der Taylorformel sind:
Um Approximations-Polynome höheren Grades zu berechnen,
benutzt man das Taylor-Verfahren. Wir werden es zuerst
an einer
speziellen Funktion herleiten, und dann zur
Taylorformel verallgemeinern.
Dabei gehen wir zunächst einmal davon aus, dass die Approximation
besser
wird,
wenn das Polynom mehr Glieder hat, also höheren Grades ist. Dazu drei
Anmerkungen:
Wir gehen am Ende
des Kapitels auf Ausnahmen ein und werden zeigen,
dass dies nur
für den Konvergenzbereich der Reihe gilt.
Und später werden wir dann sogar Funktionen kennenlernen,
die sich garnicht durch Taylorpolynome approximieren lassen,
aber solche Funktionen kommen sehr selten vor.
Den Fehler, der bei der Approximation gemacht wird, werden wir
jedoch erst im nächsten Kapitel berechnen bzw. abschätzen lernen.
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Animation: Approximation von
sin(x) durch Polynome 1-25.Grades |
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In rot ist die Sinusfunktion gezeichnet. Die Sinusfunktion (rot) wird
nacheinander
durch Polynome verschiedenen Grades (blau) approximiert. Die Animation
zeigt
nacheinander Approximations-Polynome vom 1. bis zum 25.Grad an.
Wie schon oben erklärt gilt dabei:
Je höher der Grad des Polynoms ist (d.h. je mehr Glieder das Polynom
hat),
desto
genauer ist die Approximation. Dies ist jedoch nicht bei allen
Funktionen
der Fall,
oder genauer gesagt: Nicht in jedem Intervall. Mehr dazu am Ende dieses Kapitels
(Stichwort: Konvergenzbereich).
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