Auf den vorigen Seiten haben wir ein Taylorpolynom für einen Spezialfall
hergeleitet,
nämlich für die Sinusfunktion. Nun wollen wir das
Lösungsverfahren verallgemeinern.
Wir wollen die Taylorformel (zunächst für die Entwicklungsstelle x=0)
kennenlernen,
mit der man das Taylorpolynom einer beliebigen Funktion sofort
erhält,
ohne es jedesmal (wie im Beispiel mit der Sinusfunktion) das Polynom
herleiten zu müssen.
Die Herleitung (nächste Seite) verläuft dabei identisch zum Spezialfall
der Sinusfunktion,
d.h. in der Herleitung sind keine neuen Erkenntnisse versteckt.
Taylorformel für x=0
Das Taylorpolynom n-Grades einer Funktion f(x) ist in der Nähe von
der Entwicklungsstelle
x=0 ungefähr gleich der Funktion:
oder mit dem Summenzeichen geschrieben:
Beispiel: Taylorpolynom für cos(x)
Gesucht:
Bestimme mit der Taylorformel ein Polynom 2.Grades (d.h. höchste Potenz
von x muß 2 sein),
dass die Kosinusfunktion in der Umgebung
von x=0
möglichst gut approximiert.
Lösungsweg:
Die Taylorformel im Falle eines Polynoms 2.Grades lautet.
Darin sind die Ableitungen an der Stelle x=0 unbekannt.
Wir bilden also zuerst die Ableitungen f '(x) und f ''(x):
Und berechnen dann die Funktionswerte der Ableitungen für x=0:
Die Werte setzen wir in die Taylorformel ein:
Ergebnis: Vereinfachen ergibt die Lösung, also das Taylorpolynom
2.Grades:
Interpretation des Ergebnisses:
Die Approximation der Kosinusfunktion (blau) durch das Taylorpolynom
2.Grades (rot)
ist in der Umgebung von x=0 recht gut, und wird ab 1 bzw. –1 (Bogenmaß!)
schlechter:
