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Taylorreihe für
beliebige
Entwicklungsstelle
a-absatz.pcx (280 Byte) Worum geht es
Bis jetzt haben eine Funktion (blau) durch ein Taylorpolynom (rot)
in der Nähe von x=0 approximiert, indem wir forderten, dass die Funktion
bzw. ihre Ableitungen an der Stelle x=0 mit dem Taylorpolynom übereinstimmten.
Die Approximation war an der Stelle x=0 genau und in der Umgebung von x=0
noch recht gut (natürlich auch abhängig vom Grad des Taylorpolynoms).
Je mehr man sich von der Stelle x=0 entfernte, desto ungenauer wurde die Approximation:



Nun kann es aber gewünscht sein, dass die Approximation der Funktion stattdessen
an einer anderen, beliebigen Stelle besonders gut sein soll, z.B. an der Stelle xe (also z.B. bei x=3).

Dann muß man die Funktion an dieser Stelle xe "entwickeln", d.h. man fordert nicht,
dass die Funktion f(x) bzw. ihre Ableitungen an der Stelle x=0 mit dem Taylorpolynom
bzw. seinen Ableitungen übereinstimmen, sondern an der Stelle x=xe.  

Dadurch wird die Funktion an der Stelle xe genau approximiert (im Bild ist xe=3),
und auch in der Umgebung der Stelle x=xe wird sie noch relativ gut approximiert:


Das Taylorpolynom für eine beliebige Entwicklungsstelle xe 
ergibt sich dabei aus folgender Formel:

 
a-absatz.pcx (280 Byte) Taylorformel für beliebige Entwicklungsstelle
Eine Funktion f(x) ist in der Nähe des Entwicklungspunktes xe (also wenn xxe)
ungefähr gleich ihrem Taylorpolynom, dass sich durch folgende Formel bestimmt:
 

Oder in der Schreibweise mit dem Summenzeichen: