Taylorpolynome zur點k   
a-absatz.pcx (280 Byte) Die Formel, die wir beweisen wollen
Hier nochmal zur Erinnerung die Formeln, die wir beweisen wollen:

Oder in der Schreibweise mit dem Summenzeichen:

 
a-absatz.pcx (280 Byte) Herleitung Schritt 1
Wir wollen eine Funktion durch ein Polynom approximieren,
sodass Funktion und Polynom an der Stelle xe gut 黚ereinstimmen.

Weil Funktion und Polynom an der Stelle xe genau 黚ereinstimmen sollen,
ersetzen daher x durch xe und setzen dann Funktion und Polynom gleich.
Dann versuchen wir, die Koeffizienten a0 , a1 , a2 , ... zu ermitteln:


Nun haben wir ein Problem: Wir haben eine Gleichung mit f黱f Unbekannten,
n鋗lich a0 , a1 , a2 , a3 und  a4. Die Ermittlung des Koeffizienten a0 ist also gescheitert!

Bei der Entwicklungsstelle x=0 trat dieses Problem nicht auf, weil beim Einsetzen
von x=0 die letzten Terme alle zu Null werden. Aber vielleicht gibt es ja einen Trick,
damit die letzten Terme zu Null werden, wenn wir xe einsetzen? Ja, es gibt so einen Trick!
  
a-absatz.pcx (280 Byte) Herleitung Schritt 2
Der Trick ist, die Funktion f(x) durch eine neues Polynom zu approximieren,  
bei der x durch x–xe ersetzt wurde. Das es sich tats鋍hlich um ein Polynom handelt,
merkt man 黚rigens schnell, wenn man die Klammern ausmultipliziert:
   
Wie bereits erw鋒nt, sollen Funktion und Polynom an der Stelle xe gleich sein,
damit zumindest an der Stelle xe die Approximation absolut genau ist,
und daher m黶sen wir Funktion und Polynom an der Stelle x=xe  gleichsetzen:

Weil alle Klammern zu Null werden, hat der Trick funktioniert: Wir haben den Koeffizienten a0 gefunden:  a0 = f(xe).

Wir leiten Funktion und Polynom ab, und setzen die Ableitungen an der Stelle xe gleich, denn wie schon 鰂ter erw鋒nt,
sollen auch die "Ableitung der Funktion" mit der "Ableitung des Polynoms" an der Stelle x=xe gleich sein,
damit die Approximation an der Stelle xe m鰃lichst gut ist:

Weil wieder alle Klammern zu Null werden, k鰊nen wir a1 ablesen: a1=f '(xe).

Dieser Schritt wiederholt sich jetzt immer wieder, denn auch die h鰄eren Ableitungen
der Funktion und des Polynoms sollen an der Stelle xe gleich sein. Wir leiten daher die Funktion
und das Polynom nochmal ab und setzen sie an der Entwicklungsstelle x=xe gleich:


Weil wieder alle Klammern (die xe–xe enthalten) zu Null werden, erhalten wir:

Und nochmal beide Seiten ableiten und an der Stelle x=xe gleichsetzen:


Weil wieder alle Klammern (die xe–xe enthalten) zu Null werden, erhalten wir: 

Und nochmal beide Seiten ableiten und an der Stelle x=xe gleichsetzen:


Weil wieder alle Klammern (die xe–xe enthalten) zu Null werden, erhalten wir: 


Schlie遧ich bilden wir die n-te Ableitung, und weil wieder die Ableitungen (von Funktion und Polynom)
an der Stelle xe gleich sein sollen, setzen wir die Ableitungen an der Stelle xe gleich:

Weil die Klammer (die xe–xe enth鋖t) zu Null wird, erhalten wir: 
  

a-absatz.pcx (280 Byte) Herleitung Schritt 3
Der urspr黱gliche Ansatz f黵 die Taylorreihe (siehe Schritt 2) lautete:

Die ermittelten Koeffizienten a0 , a1 , a2 , ..., an  setzen wir in diese Formel ein:

Als Vorbereitung des n鋍hsten Schritts (Fakult鋞s-Schreibweise einf黨ren) dividieren wir alle Terme durch 1.
Dies ist erlaubt, denn eine Division durch 1 鋘dert einen Term bekanntlich nicht. Wir erhalten:

Um die Darstellung zu vereinfachen, benutzen wir wieder die sogenannte Fakult鋞-Schreibweise:
Produkte wie 1򈭿4 werden geschrieben als 4! (sprich: 4 Fakult鋞). Oder allgemein gesagt:  1򈭿4...穘 = n!
Beachte, dass au遝rdem bei der Definition der Fakult鋞 festgelegt wurde, dass 0!=1, 1!=1. Wir erhalten:

Wenn wir jetzt noch festlegen, dass man unter der nullten Ableitung einer Funktion f die Funktion selbst versteht,
dass also gilt:  f(x)=f (0)(x) , dann kann man sich das Bildungsgesetzt f黵 die Glieder der Taylorreihe leicht merken:

    Die Ordnung der Ableitung ist identisch mit dem Argument der Fakult鋞
    und dem Exponenten der Klammer (x–xe).


Wir k鰊nen daher auch die verk黵zte Schreibweise mit dem Summenzeichen w鋒len:

Es hat sich aber eingeb黵gert, dass im Nenner des ersten und zweiten Gliedes 0!=1 bzw. 1!=1 weggelassen wird. Wir erhalten die gesuchte Formel: