(c) Josef Raddy

Taylorpolynome zurück   
Fehler an der
Stelle x=5
bei der
Approximation der
Sinusfunktion durch
ein Taylorpolynom
3. Grades mit der
Entwicklungsstelle xe=π/2.
a-absatz.pcx (280 Byte) Aufgabe
Es soll der Fehler abgeschätzt werden, der an der Stelle x=5 auftritt,
wenn die Sinusfunktion durch ein Taylorpolynom 3.Grades approximiert würde,
und die Sinusfunktion an der Stelle xe=π/2 (ungefähr 1.57 oder 90°) entwickelt würde.

Die Formel für die Fehlerabschätzung lautete:

Einsetzen der Entwicklungsstelle π/2:

Gesucht ist der Fehler an der Stelle x=5,
also müssen wir für x die Zahl 5 einsetzen:

Da das Taylorpolynom vom Grad 3 ist,
müssen wir für n die Zahl 3 einsetzen:

Den Nenner und die Klammer kann man ausrechnen:

Als nächstes bestimmen wir die 4.Ableitung der Funktion f, also die 4.Ableitung
der Sinusfunktion: Dies ist wieder die Sinusfunktion (Hilfe: Wie leite ich sin(x) viermal ab):

Nun fehlt nur noch der Maximalwert M, den der Betrag der Sinusfunktion
im Intervall [π/2 , 5] annehmen kann. Weil die Sinusfunktion den
Wertebereich [–1,1] hat, ist dies der Wert 1:

Die rechte Seite der Ungleichung ausrechnen ergibt (gerundet):

Ergebnis: Wenn die Sinusfunktion durch ein Näherungspolynom 3.Grades mit der
Entwicklungsstelle xe=π/2 approximiert wird, dann ist der Betrag des Fehlers
an der Stelle x=5.7618492... , also kleiner als 5.77.

Im Bild erkennt man aber, dass der tatsächliche Fehler an der Stelle x=5 nur
knappe 4 Einheiten beträgt. Aber wie gesagt, kann man mit der Formel den
Fehler nur grob abschätzen, aber nicht berechnen: