Taylorreihen zurück
Entwicklung an beliebiger Stelle
a-absatz.pcx (280 Byte) Formel für die Taylorreihe an der Entwicklungstelle x=xe
Die Formel für ein Taylorpolynom, dass an der Stelle xe entwickelt werden soll,
haben wir im Kurs Taylorpolynome kennengelernt:

bzw. in der Schreibweise mit dem Summenzeichen:

Die Formel für die Taylorreihe lautet ähnlich, bis auf zwei Unterschiede: Die Taylorreihe hat unendlich viele Glieder
anstatt nur n Glieder. Außerdem muß das "Ungefährzeichen" durch ein Gleichheitszeichen ersetzt werden:

bzw. in der Schreibweise mit dem Summenzeichen:
 
   
a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiel: Taylorreihe von cos(x) für xe
Wir suchen die Taylorreihe für cos(x) an der Entwicklungsstelle xe=π.
Die Taylorreihe für eine beliebige Entwicklungsstelle haben wir soeben kennengelernt. Sie lautete:

Wir ersetzen die Funktion f(x) bzw. ihre Ableitungen durch cos(x) bzw. ihre Ableitungen:

Die Entwicklungsstelle xe ist gleich π, also ersetzen wir xe überall durch π:

Die Funktionswerte sin(π) und cos(π) können mit dem Taschenrechner berechnet werden, sie sind gleich Null bzw. –1:

Vereinfachen: Die Terme in denen der Faktor Null vorkommt fallen weg: