Taylorreihen zurück
Hinreichendes
Kriterium für
Übereinstimmung
von Funktion und
ihrer Tayloreihe
a-absatz.pcx (280 Byte) Worum gehts
Wir geben nun endlich ein hinreichendes Kriterium an, das uns sagt,
wann eine Funktion mit ihrer Taylorreihe übereinstimmt.
Das Kriterium ist unmittelbar verständlich, wenn man sich
Funktion und Taylorreihe bildlich vorstellt (Bild siehe unten).
     
a-absatz.pcx (280 Byte) Satz
Eine Funktion stimmt genau dann mit ihrer
Taylorreihe überein (konvergiert gegen ihre Taylorreihe),
wenn das Restglied (für n gegen unendlich) gegen Null geht:

 
a-absatz.pcx (280 Byte) Bild zum Satz

         
a-absatz.pcx (280 Byte) Hinweis
Wenn das Restglied gegen Null konvergiert, dann konvergiert die Reihe gegen die Funktion
(nach den oben erwähnten Satz).

Da aber die Reihe nicht gleichzeitig divergieren kann, wenn sie gegen eine beschränkte Funktion
konvergiert, ist der Konvergenzbereich der Reihe gleich dem der Funktion, sodass
sich eine Berechnung des Konvergenzbereichs erübrigt.

Aus diesem Grund ist es ein hinreichendes Kriterium, wenn der Rest R(x) gegen Null geht.