Relationen III                                                                                                                   ZURÜCK                                

Antireflexive Relationen
(=irreflexive Relationen)

a-absatz.pcx (280 Byte) Definition

Auf der vorigen Seite haben wir reflexive Relationen betrachtet.
Bei den nicht reflexiven Relationen unterscheidet man zwei Fälle:

     1. Ein Teil der Elemente steht nicht in Relation zu sich selbst

Solche Relationen sind selten. Häufiger ist der 2.Fall:
 
     2. Kein Element steht in Relation zu sich selbst

Für solche Relationen gibt es einen besonderen Namen:

       
Definition:
Wir nennen eine zweistellige Relation R in einer nichtleeren Menge M antireflexiv
(oder irreflexiv)
, wenn kein Element aus M zu sich selbst in Relation steht:

              
  
Die Formel liest sich so:
Für alle Elemente x aus der Menge M gilt: x steht nicht in Relation zu x.

a-absatz.pcx (280 Byte) Alternative Schreibweise der Definition:
  Manchmal schreibt man die Definition auch etwas anders:
 


Gelesen: Aus "x ist Element von M" und "x steht in Relation zu y" folgt: x ist ungleich y.
 
a-absatz.pcx (280 Byte) Darstellung im Pfeildiagramm
  Im Pfeildiagramm erkennt man eine antireflexive Relation daran, daß
an keinem Element ein Ringpfeil zu finden ist:
a-absatz.pcx (280 Byte) Darstellung im Koordinatensystem
  Bei der Darstellung der Relation im Koordinatensystem erkennt man eine
antireflexive Relation daran, dass kein Elemente der Hauptdiagonale besetzt ist:


  
a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiele
  Beispiele antireflexive Relationen sind:

   1. Die Relation "ist größer als", als Symbol geschrieben:  >
       Die Aussage a>a ist immer falsch, gleichgültig welche Zahl man für a einsetzt
       Daher ist die Relation antireflexiv.

   2. Die Relation "ist senkrecht zu", als Symbol geschrieben:
^
       Die Aussage g^g ist immer falsch, gleichgültig welche Gerade g man wählt,
       denn keine Gerade steht senkrecht auf sich selbst.
       Daher ist die Relation antireflexiv.