Relationen III                                                                                                                   ZURÜCK                                

Asymmetrische Relationen
a-absatz.pcx (280 Byte) Definition

Auf der vorigen Seite haben wir definiert, was man unter einer nicht symmetrischen
Relation versteht. Die nicht symmetrischen Relationen unterteilt man nochmals in
asymmetrische und antisymmetrische Relationen:

       
Definition:
Wir nennen eine zweistellige Relation R in einer nichtleeren Menge M asymmetrisch,
aus xRy immer folgt, dass yRx falsch ist. Als Formel:

                

Die Formel liest sich so:
Für alle Paare x,y aus der Menge M gilt: Aus "x steht in Relation zu y" folgt:
"y steht nicht in Relation zu x".

1. Man beachte, daß eine asymmetrische Relation auch automatisch irreflexiv sind.
    Man erkennt dies, indem man in obiger Formel y durch x ersetzt. Es entsteht eine
    falsche (unsinnige) Aussage:
 

2. Man kann auch wieder die alternative Darstellung des Allquantors benutzen:
 

a-absatz.pcx (280 Byte) Darstellung im Pfeildiagramm
  Im Pfeildiagramm erkennt man eine asymmetrische Relation daran,
daß es keine Umkehrpfeile und keine Ringpfeile gibt:
 
Im Beispiel fehlen zu allen (beiden) Pfeilen die Umkehrpfeile, und es sind
auch keine Ringpfeile vorhanden. Die Relation ist daher asymmetrisch
a-absatz.pcx (280 Byte) Darstellung im Koordinatensystem
  Bei der Darstellung der Relation im Koordinatensystem erkennt man eine
asymmetrische Relation daran, dass zu keinem Element ein Gegenelement
existiert, das spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen liegt. Außerdem müssen
alle Elemente der Hauptdiagonalen unbesetzt sind:


  
a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiele
  Beispiele für asymmetrische Relationen sind:

   1. Die Relation "...ist größer als...", als Symbol geschrieben:  >
       Aus a>b folgt immer, daß die Aussage b>a falsch ist.
       Daher ist die Relation "... ist größer als ..." asymmetrisch.