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Nun geht es darum, einen Sattelpunkt mit Wechsel
von Links- in
Rechtskrümmung zu berechnen. Die Überlegungen dazu sind die
gleichen wie auf der vorigen Seite (beim Rechts-Links-Wechsel):
Dazu betrachten wir die Steigung der Funktion f(x), also die 1.Ableitung:
Die Steigung von f(x) steigt vor dem Sattelpunkt, hat im Sattelpunkt
den Wert Null, und wird nach dem Sattelpunkt wieder kleiner.
Einen Sattelpunkt
(mit Links-Rechts-Wechsel) erkennt
man daran, daß die 1.Ableitung f '(x) gleich Null ist
und außerdem dort ein relatives Maximum hat. |
Das Bild der ersten Ableitung f '(x) sieht also
so aus:
Die 1.Bedingung ist also, daß die Ableitung
f '(x) im Sattelpunkt gleich 0 ist:
Sattelpunkt (Links-Rechts-Wechsel)  f '(x0)
= 0
Die 2.Bedingung ist, daß die Ableitung f '(x) dort ein relatives Maximum hat.
Dies bedeutet aber, daß die nächsthöhere Ableitung f ''(x) gleich Null
sein muß, und das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt.
Damit ist ein hinreichendes Kriterium für einen Sattelpunkt gefunden:
Kriterium für einen
Sattelpunkt (mit Rechts-Links-Wende):
A: Die erste Ableitung f '(x) ist an der Stelle x0 gleich Null: f '(x0)=0 B: Die erste Ableitung f ''(x) hat an der Stelle x0 in Maximum, d.h.
> Die zweite Ableitung ist gleich Null
> Die zweite Ableitung wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus |
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