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Stetigkeit IV                                                                                      ZURÜCK

Stetigkeit
der
Wurzelfunktion
(für alle x0>0)

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Nun wollen wir die Stetigkeit der Wurzelfunktion für alle Stellen
x0 > 0 beweisen. Die allgemeine Definition der Stetigkeit lautete:

s02s30p4.pcx (4822 Byte)
Wir müssen also überprüfen ob die Ungleichung  |x-xo| < a-g-delt.pcx (214 Byte) in die
Ungleichung  |f(x)-f(x0)| < a-g-delt.pcx (214 Byte) umgeformt werden kann, d.h. im Fall
der Wurzelfunktion muß die Ungleichung s04s66p9.pcx (506 Byte)< a-g-delt.pcx (214 Byte) entstehen.

Wir nehmen dazu die Ungleichung |x-xo| < a-g-delt.pcx (214 Byte) und multiplizieren
beide Seiten mit a-g-delt.pcx (214 Byte):
s02s30p4.pcx (4822 Byte)
Jetzt dividieren wir beide Seiten durch a-g-delt.pcx (214 Byte):
s02s30p4.pcx (4822 Byte)
Nun erweitern wir diese Ungleichung um eine "Behauptung":
s02s30p4.pcx (4822 Byte)

Zuerst einmal müssen wir uns klar machen: Falls die Behauptung
stimmen würde, dann könnte man den mittleren Term fortfallen lassen
und erhielte die zu beweisende Ungleichung s04s66p9.pcx (506 Byte)< a-g-delt.pcx (214 Byte),
und damit wäre die Stetigkeit bewiesen!

Wir müssen also nur herausfinden, ob die "Behauptung" richtig ist.
Genauer: Ob es zu jeden a-g-delt.pcx (214 Byte)>0 ein a-g-delt.pcx (214 Byte)>0 gibt, sodaß die "Behauptung"
(also die Ungleichung) wahr wird:
s02s30p4.pcx (4822 Byte)
Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit a-g-delt.pcx (214 Byte) und dividieren beide
Seiten durch s04s66p9.pcx (506 Byte):   
s02s30p4.pcx (4822 Byte)

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