Beispiel zum
rechnerischen Nachweis der
"Achsensymmetrie zu einer beliebigen Parallelen der y-Achse"
Gegeben und Gesucht
Gegeben sei die Funktion der vorigen
Seite: f(x) = (x–1)2+3
Die Vermutung, dass die Funktion achsensymmetrisch zur Achse x0=1 ist, soll nun rechnerisch bewiesen
werden.
Benötigte Formeln
Wir benutzen die
"Formel für Achsensymmetrie zu einer beliebigen Parallelen der y-Achse", die
wir auf der vorigen Seite kennengelernt haben:
f(x0+x) = f(x0–x)
Lösung
Wir schreiben das Kriterium
auf:
f(x0+x) = f(x0–x)
Wir ersetzen x0
durch den gegebenen Werte, d.h. durch x0=1 :
f(1+x) = f(1–x)
Der Ausdruck f(1+x) bedeutet, die gegebene
Funktion f(x) an der Stelle
1+x.
Praktisch bedeutet dies, wir schreiben statt f(1+x) die Funktion f(x)
hin,
aber ersetzen alle x durch 1+x:
(1+x–1)2+3 = f(1–x)
Ebenso ersetzen wir die rechte Seite der Gleichung durch die Funktion
f(x)
an der Stelle 1–x:
(1+x–1)2+3 = (1–x–1)2+3
Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung:
x2+3 = (–x)2+3
x2+3 = x2+3
Da beide Seiten gleich sind, haben wir bewiesen, dass die Funktion f(x) = (x–1)2+3
tatsächlich zur Achse x0=1 symmetrisch ist.
