Rechnerischer Nachweis der Punktsymmetrie zu einem gegebenen Punkt
Gegeben und Gesucht
Gegeben sei die Funktion der vorigen
Seite: f(x) = (x–1)3+2
Die Vermutung, dass die Funktion punktsymmetrisch
zum Punkt P(1/2) ist, soll nun rechnerisch bewiesen
werden.
Benötigte Formeln
Wir benutzen das "Kriterium
für Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt",
das wir auf der vorigen Seite kennengelernt haben:
f(x0+x) – y0
= – f(x0–x) + y
Lösung
Wir schreiben das Kriterium auf:
f(x0+x) – y0
= – f(x0–x) + y
Wir ersetzen
x0
und y0 durch die gegebenen Werte. Dabei sind x0
und y0
ja nichts anderes, als die (gegebenen) Koordinaten des Punktes P(1/2):
f(1+x)
– 2
= – f(1–x) + 2
Der Ausdruck f(1+x) bedeutet die
Funktion f(x) an der Stelle 1+x.
Wir schreiben also statt f(1+x) die gegebene Funktion f(x) hin, aber
ersetzen alle x durch 1+x:
(1+x–1)3+2
– 2
= – f(1–x) +
2
Ebenso
ersetzen wir auf der rechten Seite den Ausdruck f(1–x) durch
die gegebene Funktion f(x), ersetzen aber das x durch 1–x:
(1+x–1)3+2
– 2
= – [(1–x–1)3+2] +
2
Wir vereinfachen jetzt beide Seiten:
x3
=
– [(–x)3+2] +
2
x3
= –
(–x)3–2 +
2 x3
= –
(–x)3 x3
= x3
Da beide Seiten gleich sind, haben wir bewiesen, dass die Funktion
f(x) = (x–1)3+2 tatsächlich zum Punkt (1/2) symmetrisch ist.
