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Symmetrie III

Ganzrationale
Funktionen:

Gerade und ungerade
Exponenten

Satz

Haben die Variablen einer ganzrationalen Funktion sowohl gerade
als auch ungerade Exponenten, so ist die Funktion weder gerade
noch ungerade. Andere Symmetrien können aber vorhanden sein.

Beispiel

Die folgende Funktion ist weder gerade (d.h. keine Symmetrie zur y-Achse)
noch ungerade (d.h. keine Symmetrie zum Ursprung).

f(x) = 4x² + 4x + 1

Sie ist jedoch achsensymmetrisch zu x_o = –0.5 . Wie man die Achsensymmetrie
zu x=0.5 überprüft, haben wir ja bereits im Kapitel I erklärt. Hier noch der Graph:

Beweis

Wir müssen nun beweisen, dass eine ganzrationale Funktion, die sowohl gerade
als auch ungerade Exponenten erhält, weder gerade noch ungerade ist,
aber manchmal andere Symmetrien hat:

Gegeben sei also eine Funktion, die gerade und ungerade Potenzen enthält:

Wir teilen die Summanden so auf, dass alle Summanden mit geraden Exponent
in der linken Klammer stehen, und alle Summanden mit ungeraden Exponenten
in der rechten Klammer:

Am Anfang des Kapitels haben wir gelernt, dass eine ganzrationale Funktion, die nur gerade
Exponenten enthält, eine gerade Funktion ist (symmetrisch zur y-Achse). Die linke Klammer
stellt daher eine gerade Funktion dar. Ebenso haben wir gelernt: Weil die rechte Klammer
nur ungerade Exponenten enthält, muß die rechte Klammer eine ungerade Funktion darstellen,
d.h. eine Funktion, die symmetrisch zum Ursprung ist:

Im Kapitel 2 haben wir gelernt, dass die Summe einer geraden und einer ungeraden eine
Funktion ergibt, die weder gerade noch ungerade ist, son

Damit ist der Satz bewiesen.