Summe zweier ungerader Funktionen
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 | Satz |
| Wir wollen nun untersuchen, ob eine Funktion gerade, ungerade oder unsymmetrisch ist,
wenn sie aus der Summe zweier ungerader Teilfunktionen besteht.
Beispielsweise besteht die folgende Funktion f(x) aus zwei ungeraden Teilfunktionen,
denn sowohl u1(x)=sin(x) als auch u2(x)=x3 sind ungerade Funktionen:
f(x) = sin(x) + x3
Wir werden festellen, das gilt:
Die Summe zweier ungerader Funktionen
ergibt eine ungerade Funktion, d.h. eine Funktion,
die punktsymmetrisch zum Ursprung ist. |
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| Beweis |
| Gegeben sei also eine Funktion f(x), die aus zwei ungeraden Teilfunktionen
besteht, die wir u1(x) und u2(x) nennen:
f(x) = u1(x) + u2(x)
Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:
f(–x) = u1(–x) + u2(–x)
u1(x) und u2(x) sind laut Voraussetzung ungerade Funktionen.
Daher gilt: u1(–x)= –u1(x) und u2(–x)= –u2(x). Wir erhalten:
f(–x) = –u1(x) – u2(x)
Auf der rechten Seite der Formel klammern wir –1 aus:
f(–x) = – [ u1(x) + u2(x) ]
Wir vergleichen die eckige Klammer mit der gegebenen Gleichung
und erkennen, dass sie f(x) entspricht:
f(–x) = – f(x)
Dies ist aber die Formel für Punktsymmetrie zum Ursprung,
d.h. die Funktion f(x) ist eine ungerade Funktion.
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