Produkt aus gerader oder ungerader Funktion
und einer unsymmetrischen Funktion
Satz
Bildet
man das Produkt aus einer geraden (oder ungeraden) Funktion
und einer unsymmetrischen
Funktion, dann entsteht weder eine gerade noch eine ungerade Funktion
Ausnahme:
Die gerade/ungerade Funktion lautet: a(x)=0
Beispiel
Die
Funktion f(x) =
cos(x)·ex besteht aus einem geraden Faktor cos(x) und dem unsymmetrischen Faktor ex. Das Produkt f(x) ist unsymmetrisch.
Beweis
Wir
benutzen das Beweisverfahren "Beweis durch Widerspruch".
Fall 1: g1(x)·n(x)=g2(x) Fall 2: u1(x)·n(x)=u2(x) Fall 3: g(x)·n(x)=u(x) Fall 4: u(x)·n(x)=g(x)
Exemplarisch beweisen wir den Fall 1:
Wir beweisen, dass das Produkt aus einer geraden Funktion g1(x) und einer unsymmetrischen Funktion n(x) keine gerade Funktion g2(x) ergeben kann:
g1(x)·n(x)=g2(x)
Wir teilen die Gleichung durch g1(x):
n(x)= g2(x) / g1(x)
Dies ist ein Widerspruch, denn n(x) soll ja unsymmetrisch sein, auf der rechten Seite steht eine gerade Funktion, denn der Quotient zweier gerader Funktionen wieder eine gerade Funktion.
