Differenz zweier ungerader Funktionen
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 | Satz |
| Die
Differenz zweier ungerader Funktionen
ergibt eine ungerade Funktion, d.h. eine Funktion,
die punktsymmetrisch zum Ursprung ist. |
Beispielsweise besteht die folgende
Differenz f(x) aus zwei ungeraden Funktionen,
denn sowohl u1(x)=sin(x) als auch u2(x)=x3 sind ungerade Funktionen:
f(x) = sin(x) – x3
Laut dem Satz ist somit auch f(x) ungerade.
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| Beweis |
| Gegeben sei also eine
Differenz f(x), die aus zwei ungeraden Teilfunktionen
besteht, die wir u1(x) und u2(x) nennen:
f(x) = u1(x) – u2(x)
Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:
f(–x) = u1(–x)
– u2(–x)
u1(x) und u2(x) sind laut Voraussetzung ungerade Funktionen.
Daher gilt: u1(–x)= –u1(x) und u2(–x)= –u2(x). Wir erhalten:
f(–x) = –u1(x) –
[– u2(x)]
Wir
lösen die Klammer auf:
f(–x) = –u1(x) + u2(x)
Auf der rechten Seite der Formel klammern wir –1 aus:
f(–x) = – [ u1(x)
– u2(x) ]
Wir vergleichen die eckige Klammer mit der gegebenen Gleichung
und erkennen, dass sie f(x) entspricht:
f(–x) = – f(x)
Dies ist aber die Formel für Punktsymmetrie zum Ursprung,
d.h. die Funktion f(x) ist eine ungerade Funktion.
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