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Trigonometrie V                                       ZURÜCK

Beweis des
Cosinussatz
a-absatz.pcx (280 Byte)Beweisidee
       Der Cosinussatz lautete c²=a²+b²-2·a·b·cosa-g-gama.pcx (216 Byte) 
 tr5s7p2.pcx (3383 Byte) 
        a-1.pcx (190 Byte) Wir zeichnen die Höhe h der Seite a ein. 
        a-2.pcx (192 Byte) Dadurch können wir c durch h und a1 ausdrücken.
        a-3.pcx (194 Byte) Wir versuchen h und a1 durch die gegebenen Seiten a und b
            sowie den gegebenen Winkel a-g-gama.pcx (216 Byte) zu ersetzen. 
        a-4.pcx (191 Byte) Wir setzen die Ergebnisse von Punkt a-3.pcx (194 Byte) in Punkt a-2.pcx (192 Byte) ein.

a-absatz.pcx (280 Byte)Details zum Beweis
        zu a-2.pcx (192 Byte) Im unteren rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des
                Pythagoras: c² = h² + a1² 

         zu a-3.pcx (194 Byte) Nun müssen wir in c² = h² + a1² die Seiten 
                h und a1 durch die Seiten a und b und den
                Winkel a-g-gama.pcx (216 Byte) ersetzen. Zuerst ersetzen wir h:

                        h = sina-g-gama.pcx (216 Byte)·b 
 
                Als zweites ersetzen wir a1:
                       a1 = a - a2 
                             a1 = a - (cosa-g-gama.pcx (216 Byte)·b)            weil:  cosa-g-gama.pcx (216 Byte)= a2:b)          

         zu a-3.pcx (194 Byte)  Schritt 4 besteht nur aus technischen Umformungen:
                 Wir setzen die Ergebnisse aus 3 in die Formel aus
                 Punkt 2 ein und multiplizieren die Klammern aus:

                       c² = (sina-g-gama.pcx (216 Byte)·b)² + (a - cosa-g-gama.pcx (216 Byte)·b)² 
                       c² = sin²a-g-gama.pcx (216 Byte)·b² + a² -2·a·cosa-g-gama.pcx (216 Byte)·b + cos²a-g-gama.pcx (216 Byte)·b² 

                  Aus dem 1. und 4. Summanden können wir b² ausklammern:

                       c² = b²(sin²a-g-gama.pcx (216 Byte)+cos²a-g-gama.pcx (216 Byte)) + a² -2·a·cosa-g-gama.pcx (216 Byte)·b 

                  Die Klammer fällt weg (trigonometrischer Pythagoras).
                  Diese letzte Umformung ergab den Cosinussatz:

                     c² =  a² + b² -2·a·b·cosa-g-gama.pcx (216 Byte)