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Intervalle als
Lösungsmengen
a-absatz.pcx (280 Byte) 1. Offene Intervalle
Die Lösungsmenge einer Ungleichung kann z.B. aus allen Zahlen zwischen 1 und 3
bestehen, wobei die Zahlen 1 und 3 nicht zur Lösung gehören sollen. Man nennt
eine solche Menge ein offenes Intervall. In der Mengenschreibweise würde man
das offene Intervall bzw. diese Lösungsmenge folgendermaßen schreiben:
  

  
Lies: Die Lösungsmenge besteht aus allen Elementen x, für die gilt: x liegt zwischen 1 und 3.
  
Das Intervall bzw. die Lösungsmenge kann man auch in der Klammerschreibweise
(Intervallschreibweise) angeben:
  

  
a-absatz.pcx (280 Byte) 2. Abgeschlossene Intervalle
Gehören die Zahlen 1 und 3 jedoch noch zur Lösungsmenge, so spricht man von
einem abgeschlossenen Intervall, und schreibt in der Mengenschreibweise:
  
    
  
In der Klammerschreibweise benutzt man eckige Klammern um zu kennzeichnen,
dass ein sich um ein abgeschlossenes Intervall handelt, und d.h. um zu kennzeichnen,
dass 1 und 3 noch zur Lösungsmenge gehören:
  

  
a-absatz.pcx (280 Byte) 3. Halboffene Intervalle
Außerdem gibt es noch die halboffenen Intervalle. Ein halboffenes Intervall
wäre z.B. das Intervall, dass aus allen Zahlen zwischen 1 und 3 besteht, wobei
die Zahl 1 zum Intervall gehören soll, die Zahl 3 aber nicht:. Mengenschreibweise:
  

  
Klammerschreibweise:
  

  
Das Intervall nennt sich genau genommen links abgeschlossen, halboffenes Intervall.
  
Ebenso gibt es natürlich ein "rechts abgeschlossen, halboffenes Intervall", nämlich dann,
wenn z.B. die 1 nicht zur Lösungsmenge gehören würde, sondern stattdessen die 3:
  
          
  
Klammerschreibweise:
  

  
a-absatz.pcx (280 Byte) 4. Unendliche Intervalle
Schließlich gibt es noch die unendlichen Intervalle.
Unendliche Intervalle erkennt man daran, dass ein oder beide Endpunkte fehlen.
  
Beispiel: Nehmen wir an, dass eine Lösungsmenge aus allen Zahlen besteht,
die größer oder gleich 3 sind, dann ist dies ein unendliches Intervall, denn
"noch oben hin" fehlt ein Endpunkt:
  

  
Bei der Klammerschreibweise muß man beachten, dass die Seite mit dem
Unendlichzeichen immer eine runde Klammer haben, denn "Unendlich" ist keine Zahl,
und daher kann "unendlich" auch kein Endpunkt des Intervalls sein.
  

  
Dieses Intervall nennt sich übrigens "links abgeschlossenes, unendliches Intervall",
weil die linke Zahl (die 3) noch zum Intervall gehört. 
  
Würde die Zahl 3 nicht zur Lösungsmenge gehören, so würde es sich um ein
"links offenes, unendliches Intervall" handeln, und wir müßten schreiben:
  
 
  
In Klammerschreibweise:
  

  
Analog zu den "links abgeschlossenen/offenen, unendlichen Intervallen"
gibt es natürlich die "rechts abgeschlossenen/offenen, unendlichen Intervallen".
  

  
Schließlich gibt es noch den Sonderfall, dass alle Zahlen zur Lösungsmenge gehören:
  
 
  
Mengenschreibweise: