Version: Test
©Raddy 2000

Vektorräume III                                        ZURÜCK

Unterraum-
kriterium
a-absatz.pcx (280 Byte)Einführung
       Auf der vorigen Seite haben wir den Begriff Unterraum definiert:

           Gegeben sei ein Vektorraum V, der aus dem Körper K,
           der Menge G und den Verknüpfungen R und S besteht.
           Ein Gebilde V' nennt sich Unterraum von V, wenn dem
           Gebilde V' der gleiche Körper K, die gleichen Verknüpfungen
           R und S, und eine Teilmenge G' der Menge G zugrundeliegen,
           und das Gebilde V' selbst wieder ein Vektorraum ist.

       Hier stellt sich die Frage: Wann ist denn das Gebilde V'
       selbst wieder ein Vektorraum. Die Antwort ist einfach:

              Das Gebilde V' muß alle Vektorraumaxiome erfüllen.

        Nun gibt es aber einen "Trick": Man muß nämlich nicht alle
        Vektorraumaxiome nachweisen, sondern nur einige:

        Zunächst zeigen wir, daß man die beiden Assoziativgesetze
        R2 und S2, die beiden Distributivgesetze S3 und S4 und das
        Kommutativgesetz R5 nicht nachweisen muß:

              Wenn diese Gesetze in der Menge G gültig sind, dann sind
              sie auch in der Teilmenge G' gültig. Dies kann man sich so
              verdeutlichen: Wenn ein Strafgesetz in Deutschland gültig
              ist, dann ist es auch in einer Teilmenge von Deutschland
              gültig (also z.B. in Bayern). 
      
        Das Axiom S5 muß man auch nie nachweisen:

              Das Einselement ist ein Element des Körpers K des
              Vektorraumes V, und dieser Körper K liegt auch dem
              Gebilde V' zugrunde.

        Das Axiom R3 (Existenz eines neutralen Elementes) braucht
        man aus nicht zu prüfen, denn es folgt aus Axiom R4:

              Das neutrale Element ist die Summe zweier zueinander
              inverser Elemente: g' + (g')-1 = Neutrales Element

        Faßt man diese Überlegungen zusammen, dann folgt daraus
        das sogenannte Unterraumkriterium:
           Gegeben sei ein Vektorraum V, der aus dem Körper K,
           der Menge G und den Verknüpfungen R und S besteht.
           Ein Gebilde V' nennt sich Unterraum von V, wenn dem
           Gebilde V' der gleiche Körper K, die gleichen Verknüpfungen
           R und S, und eine Teilmenge G' der Menge G zugrundeliegen,
           und das Gebilde V' die Axiome R1, S1 und R4 erfüllt.