Wurzelgleichungen

Zwei Wurzeln, Wurzelexponent das Doppelte des anderen

Gegeben:
Gegeben ist eine Wurzelgleichung mit zwei Wurzeln, wobei der eine Wurzelexponent das Doppelte des anderen ist:

Wurzel isolieren:
Wir addieren die zweite (rechte) Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung,
damit auf jeder Seite jeweils nur eine einzige Wurzel steht:

Potenzieren:
Jetzt potenzieren wir mit dem größeren der beiden Wurzelexponenten, also hier mit 6:

Vereinfachen:
Auf der linken Seite heben sich Radizieren (Wurzelziehen) und
Potenzieren gegenseitig auf, denn es gilt das folgende Wurzelgesetz,
das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben:

Auf der rechten Seite schreiben wir die Wurzel als Potenz mit rationalem
Exponenten, wobei wir folgendes Potenzgesetz verwenden:

Auf der rechten Seite den Wurzelexponenten kürzen:

Auf der rechten Seite die Klammer ausmultiplizieren. Am einfachsten
geht das mit der 1.Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

Wir brignen alle Terme auf die linke Seite:

Wir multiplizieren mit –1. Dadurch erhalten wir eine "quadratische Gleichung in Normalform":

Quadratische Gleichung lösen:
Wir lösen die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel, die hier zur Erinnerung aufgeführt ist:

Wir setzen die Koeffizienten (13, –14) der Normalform wie üblich in die p-q-Formeln ein:

Nun vereinfachen wir den Term, indem wir im Radikanden die Summanden auf einen Nenner bringen

Jetzt können wir beide Brüche im Radikanden addieren

Wir ziehen die Wurzel aus dem Radikanden, indem wir eines der Wurzelgesetze anwenden: Man zieht die Wurzel aus einem Bruch, indem man sie aus Zähler und Nenner einzeln zieht:

Jetzt berechnen wir im Zähler und Nenner die Wurzeln (mit dem Rechner):

Ergebnis:
Nun brauchen wir nur noch addieren:

Probe für x=1:
Die Probe ergibt, daß 1 eine Lösung ist

Probe für x=–14:
Die Probe für –14 ergibt, daß –14 keine Lösung ist, denn beim Einsetzen von –14 wird der Radikand der rechten Wurzel negativ, und solche Wurzeln sind nicht definiert.

Lösungsmenge:
Nur x=1 ist eine Lösung