Zwei Quadratwurzeln und ein Linearglied

Gegeben:
 Die gegebene Wurzelgleichung besteht aus zwei Wurzeln und einem Linearglied
(Linearglieder haben die Form a·x, d.h. im Beispiel ist a gleich –1):
Wurzel isolieren:
Zuerst isolieren wir eine der Wurzeln, im Beispiel die linke Wurzel:
Potenzieren:
Da jetzt eine der Wurzeln isoliert ist, können wir die Gleichung quadrieren:
Vereinfachen:
Auf der linken Seite heben sich Radizieren (Wurzelziehen) und Quadrieren
(mit 2 potenzieren) gegenseitig auf, denn es gilt das folgende Wurzelgesetz,
das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben:
Vereinfachen:
Auf der rechten Seite müssen wir die Klammer ausmultiplizieren:
Am einfachsten mit der 1.Binomischen Formel (a+b)2=a2+2ab+b2
Verbleibende Wurzel isolieren:
Die übrig gebliebene Wurzel muß nun isoliert werden:

Übrigens:
Man sollte nicht auf die Idee kommen, die letzte Gleichung
durch x zu dividieren, weil man ja nicht weiß, ob x gleich Null ist,
und die Division durch Null ist ja verboten.
Nochmal Potenzieren:
Nun potenzieren wir beide Seiten mit 2:
Vereinfachen:
Auf der linken Seite wenden wir das folgende Potenzgesetz an:
Auf der rechten Seite wenden wir das folgende Potenzgesetz an:
Auf der rechten Seite heben sich Radizieren (Wurzelziehen) und Quadrieren
(mit 2 potenzieren) gegenseitig auf, denn es gilt das folgende Wurzelgesetz,
das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben:
Die Klammer auf der rechten Seite können wir ausmultiplizieren:
 
Wir bringen alle Terme auf die linke Seite und erhalten
eine Polynomgleichung 4.Grades:
Polynomgleichung lösen:
Wir klammern zunächst x2 aus:
Wir finden das 1.Ergebnis:
Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Dieser Satz bedeutet für uns, daß das erste Ergebnis gleich 0 ist, denn dann ist der erste Faktor gleich Null:
Quadratische Gleichung lösen:
Um die weiteren Ergebnisse zu erhalten, müssen wir die Klammer
gleich Null setzen: Dadurch erhalten wir eine quadratische Gleichung:
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen
ist hier nochmal zur Erinnerung aufgeführt:
Wir setzen die Koeffizienten a=1, b=–5 und c=6 ein:
Vereinfachen:
Weitere Ergebnisse:
Es ergeben sich zwei weitere Ergebnisse:
Probe für x1=0:
Wir setzen x1=0 in die gegebene Gleichung ein: x1=0
ist keine Lösung, denn es entstehen negative Radikanden,
und Wurzeln mit negativen Radikanden sind nicht definiert:
Probe für x2=2:
Wir setzen x2=2 in die gegebene Gleichung ein.
Weil eine wahre Aussage entsteht (0=0)
ist x2=2 tatsächliche eine Lösung der gegebenen
Gleichung:
Probe für x3=3:
Wir setzen x3=3 in die gegebene Gleichung ein.
Weil eine wahre Aussage entsteht (0=0)
ist x2=2 tatsächliche eine Lösung der gegebenen
Gleichung:
Lösungsmenge: