Zwei Wurzeln, ein Wurzelexponent ist das Vielfache des anderen

Gegeben:
Gegeben ist folgende Wurzelgleichung:
Potenzieren:
Wir haben nun zwei Möglichkeiten: Entweder wir erweitern die erste Wurzel,
sodass ihr Wurzelexponent auch zu 6 wird, oder wir potenzieren direkt mit
dem größeren der beiden Wurzelexponenten. Wir wählen die letztere Methode:
Rechte Seite: Vereinfachen
Auf der rechten Seite heben sich Radizieren (Wurzelziehen) und Potenzieren
gegenseitig auf, denn es gilt das folgende Wurzelgesetz,
das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben:
Linke Seite: Vereinfachen:
Auf der linken Seite können wir die Wurzel als Potenz mit rationalem
Exponenten schreiben, denn es gilt folgendes Potenzgesetz:
Linke Seite: Vereinfachen:
Auf der linken Seite der Gleichung den Wurzelexponenten kürzen:
Linke Seite: Vereinfachen:
Die Klammer ausmultiplizieren:
Gleichung vereinfachen:
Nun stehen Polynome auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung. Wir bringen alle Summanden auf die linke Seite:
Gleichung 3.Grades lösen:
Wir erhalten eine algebraische Gleichung 3.Grades. Die Gleichung 3.Grades hat kein Absolutglied, und somit können wir x ausklammern.
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.
Wir können somit ablesen, daß x1=0 ein Ergebnis ist:
Die anderen Ergebnisse erhalten wir, wenn wir die Klammer Nullsetzen.
Es entsteht eine quadratische Gleichung:
Quadratische Gleichung lösen:
Die quadratische Gleichung lösen wir, indem wir die
allgemeine Lösungsformel benutzen, die wir im Kurs
"Quadratische Gleichungen" kennengelernt haben.
Probe für x1=0
Die Probe für x1=0 ergibt eine wahre Aussage (1=1).
x1=0 ist also eine Lösung der Wurzelgleichung:
Probe für x2=1:
Wir setzen x2=1 in die gegebene Gleichung ein und vereinfachen.
Dann müssen wir die erste Wurzel mit 3 erweitern, um die beiden
Wurzeln vergleichen zu können. Dazu benutzen wir die Formel:

Auch für x2=1 ergibt sich eine wahre Aussage und somit ist x2=1 eine Lösung.
Probe für x3=4:
Setzt man x3=4 in die Wurzelgleichung ein, so ergibt sich ein negativer Radikand, d.h. die Wurzeln werden undefiniert. Dies bedeutet, dass x3=4 keine Lösung ist.
Lösungsmenge:
Die Lösungsmenge besteht also aus den beiden Zahlen Null und 1: