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Vorbemerkung |
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Zum Beweis des Satzes müssen wir fünf Fälle betrachten.
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Fall 1: |
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Im Fall 1 sind a und b beide positiv.
A.Dann gilt aufgrund der Definition des Betrages:
|a|=a und |b|=b
und somit gilt: |a|·|b|=ab.
B. Andererseits gilt für |ab|: Weil a und b laut Voraussetzung positiv
sind,
ist auch das Produkt a·b positiv. Und aufgrund der
Definition des Betrages gilt:
|ab|=ab
C. Setzen wir die Ergebnisse von A und B gleich, so erhalten wir:
|a|·|b| = |ab|
Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen. |
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Fall 2: |
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Im Fall 2 ist a positiv und b ist negativ.
A.Dann gilt aufgrund der Definition des Betrages:
|a|=a und |b|= –b
und somit gilt: |a|·|b| = a·(–b) = –ab
B. Andererseits gilt für |ab|: Weil laut Voraussetzung a positiv
ist und b negativ,
ist das Produkt a·b negativ. Aufgrund der Definition
des Betrages gilt dann:
|ab| = –ab
C. Setzen wir die Ergebnisse von A und B gleich, so erhalten wir:
|a|·|b| = |ab|
Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen. |
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Fall 3: |
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Im Fall 3 ist a negativ und b ist positiv.
A.Dann gilt aufgrund der Definition des Betrages:
|a|= –a und |b|= b
und somit gilt: |a|·|b| = (–a)·b = –ab
B. Andererseits gilt für |ab|: Weil laut Voraussetzung a negativ
ist und b positiv,
ist das Produkt a·b negativ. Aufgrund der Definition
des Betrages gilt dann:
|ab| = –ab
C. Setzen wir die Ergebnisse von A und B gleich, so erhalten wir:
|a|·|b| = |ab|
Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen. |
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Fall 4: |
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Im Fall 4 sind a und b beide negativ.
A.Dann gilt aufgrund der Definition des Betrages:
|a|= –a und |b|= –b
und somit gilt: |a|·|b| = (–a)·(–b) = ab
B. Andererseits gilt für |ab|: Weil a und b laut Voraussetzung negativ
sind,
ist das Produkt a·b positiv. Und aufgrund der
Definition des Betrages gilt:
|ab|=ab
C. Setzen wir die Ergebnisse von A und B gleich, so erhalten wir:
|a|·|b| = |ab|
Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen. |
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Fall 5: |
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Im Fall 5 ist a oder b gleich Null, oder a und b sind beide Null.
Dann wird die linke Seite der Gleichung gleich Null, weil das
Produkt einer Zahl mit der Null gleich Null ist. Auch die rechte
Seite der Gleichung wird aus dem gleichen Grund zu Null:
|a|·|b| = |ab|
Damit ist der Satz für diesen Fall bewiesen. |
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