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Gegeben ist die Betragsungleichung:
ŒWir führen eine
Fallunterscheidung durch.
Dies bedeutet folgendes. Die Terme zwischen
den Betragszeichen können sowohl positive als auch negative Werte
annehmen. Wir
unterscheiden daher 4 Fälle (im allgemeinen 2n Fälle, wobei n
die Zahl der Betragszeichen).
Im Fall 1 sind die Terme in den Betragszeichen beide
nicht-negativ (größer oder gleich Null).
Im Fall 2 ist der Term im ersten Betragszeichen nicht-negativ, im
zweiten aber negativ.
Im Fall 3 ist der Term im ersten Betragszeichen negativ, im zweiten aber
nicht-negativ.
Im Fall 4 sind die Terme in den Betragszeichen beide negativ.
Die Fälle tragen wir in die Tabelle ein (siehe die gelben Felder):
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1.Betrag |
2.Betrag |
Ungleichung |
Gelöst: |
System |
| 1.Fall |
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| 2.Fall |
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| 3.Fall |
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| 4.Fall |
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Nun
fragen wir uns, wie sich unsere Betragsungleichung in den einzelnen
Fällen ändert.
Im Fall 1 sind beide Terme in den Betragsklammern
nicht-negativ, und laut der
"Definition des Betrages" dürfen wir daher die Betragszeichen wegfallen
lassen,
bzw. wir müssen sie durch eine "normale" Klammer ersetzen.
Im Fall 2 ist der Term in der ersten Betragsklammer
nicht-negativ, und laut der
"Definition des Betrages" dürfen wir daher die Betragszeichen wegfallen
lassen.
Der Term in der zweiten Betragsklammer ist jedoch negativ. Laut der
"Definition
des Betrages" müssen wir daher das Vorzeichen vor der Klammer umdrehen,
wenn wir die Betragsklammer durch eine "normale" Klammer ersetzen.
Im Fall 3 und 4 gehen wir analog (genauso) vor:
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1.Betrag |
2.Betrag |
Ungleichung |
Gelöst: |
System |
| 1.Fall |
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| 2.Fall |
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| 3.Fall |
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| 4.Fall |
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ŽWir
lösen die vier Ungleichungen
aus dem letzten Schritt, indem wir sie nach x umstellen:
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1.Betrag |
2.Betrag |
Ungleichung |
Gelöst: |
System |
| 1.Fall |
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| 2.Fall |
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| 3.Fall |
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| 4.Fall |
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Für jeden der vier Fälle müssen wir
nun ein Ungleichungssystem
aufstellen. Das Ungleichungssystem besteht jeweils aus den beiden
Ungleichungen, die sich
aus der Fallunterscheidung ergeben sowie der gelösten
Betragsungleichung:
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1.Betrag |
2.Betrag |
Ungleichung |
Gelöst: |
System |
| 1.Fall |
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| 2.Fall |
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| 3.Fall |
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| 4.Fall |
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Wir
lösen die vier
Ungleichungssysteme, indem wir alle 12 Ungleichungen nach x
umstellen.
(Kleine Hilfe: Ungleichungen wie 1<9 sind stets wahr, und brauchen nicht
beachtet werden):
zDie
Lösungsmenge ist die
Vereinigungsmenge der Lösungsmengen der vier
einzelnen Ungleichungssysteme:
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