Eine Funktion f(x,y) nennt sich eine homogene Funktion vom Grad n,
wenn man sie in der folgenden Form schreiben kann:
Anmerkung:
Der Grad der Homogenität einer Funktion
hat nichts mit
dem Grad einer Differentialgleichung zu tun.
Erklärung und Beispiele
Eine Funktion f(x,y) ist also homogen, wenn man sie als Produkt
schreiben kann,
wobei ein Faktor eine Potenz von x ist, und der andere Faktor eine Funktion
von y/x ist (d.h. eine Funktion, deren Argument y/x ist).
Im Beispiel ist y/x
das Argument der Sinusfunktion:
In diesem Beispiel ist y/x das Argument der Potenzfunktion:
Die Funktion von y/x kann auf aus mehreren Teilfunktionen bestehen,
im Beispiel aus der Sinusfunktion und einer Exponentialfunktion:
Die Potenz von x kann auch x0=1 lauten, also wegfallen.
Der Grad der Homogenität ist dann Null:
Der zweite Faktor kann auch eine Funktion von x/y anstatt von y/x sein,
denn man kann x/y ja stets als Doppelbruch schreiben:
Erkennen der Homogenität durch Ausklammern
Besonders bei ganzrationalen Funktionen erkennt man die Homogenität erst dann,
wenn
man eine Potenz von x ausklammert. Beispiel
Auf der nächsten Seite werden wir daher eine Regel angeben, mit der man ohne
vorigen Ausklammern sehr leicht überprüfen kann, ob eine ganzrationale Funktion
homogen ist, und welchen Grad die Homogenität hat, d.h. welche Potenz xn
man
ausklammern kann.
