Gegeben sei die folgende Funktion in x und y, wobei wir die Untersuchung
auf Homogenität mit dem ersten Bruch (blau markiert) beginnen:
Die Homogenität der Zählerfunktion ist vom Grad 1, die Homogenität der
Nennerfunktion vom Grad 2. Wir können also im Nenner x2 ausklammern:
Jetzt betrachten wir die Klammer im Nenner: Hier kürzen wir, und wenden
das folgende Potenzgesetz an: y²/x² = (y/x)². Außerdem kann der gesamte
Bruch mit x gekürzt werden, und wir erhalten:
Jetzt betrachten wir den anderen Bruch, der in der vorigen Gleichung
grün markiert wurde. Hier hat die Homogenität der Zählerfunktion
den Grad 2, die Homogenität im Nenner hat den Grad 3. Daher können
wir x2 im Zähler bzw. x3 im Nenner ausklammern:
Zuerst kürzen wir die beiden Faktoren x2 und x3
miteinander, sodass 1/x übrigbleibt.
Wir vereinfachen den Zähler weiter, indem wir den Bruch im Zähler mit x kürzen.
Dann vereinfachen wir die Klammer im Nenner, indem wir kürzen bzw. das
Potenzgesetz y²/x² = (y/x)² anwenden:
Jetzt betrachten wir den Logarithmus, den wir im vorigen Schritt rot markiert
haben:
Wir schreiben den Bruch (im Argument des Logarithmus) auseinander, und erhalten:
Jetzt können wir 1/x = x–1 aus beiden Summanden ausklammern:
Wir erhalten eine homogene Funktion vom Grad –1.
