Homogene Differentialgleichungen 1.Ordnung
Homogenität des Produktes xn·ym
 
a-absatz.pcx (280 Byte) Einführung
Zunächst wiederholen wir, was eine ganzrationale Funktion zweier Variablen ist.
Eine ganzrationale Funktion zweier Variablen ist zum Beispiel die Funktion:
 
   

Auf den nächsten Seiten wollen wir ganzrationalen Funktionen zweier Variablen f(x,y)
untersuchen, in welchen Fällen sie homogen ist. Oder anders gesagt: Wir untersuchen,
welche ganzrationalen Funktionen sich in eine homogene Funktion umformen lassen. 

Die rechte Seite der obigen Funktion ist ein Polynom, dass aus drei sogenannten Monomen
g(x)= xn·ym besteht. Wir werden zuerst einmal beweisen, dass ein solches Monom stets homogen ist.
 
a-absatz.pcx (280 Byte) Satz:
Das Monom xn·ym  ist immer homogen und vom Grad n+m.
Der Grad des Monoms ist also die Summe der Exponenten von x und y.  
  
a-absatz.pcx (280 Byte) Beispiel
Das Monom:

ist homogen vom Grad 300, denn 100+200=300.
a-absatz.pcx (280 Byte) Beweis
Gegeben sei ein beliebiges Monom zweier Variablen x und y:

Wir schreiben das Monom als Bruch:

Wir erweitern mit xm:

Wir schreiben xm··xn vor den Bruch:

Wir wenden auf den Bruch ein Potenzgesetz an:

Wir wenden auf xm··xn ein anderes Potenzgesetz an:

Wir erhalten eine homogene Funktion vom Grad n+m,
wobei n+m der Summe der Exponenten von x und y entspricht.
Damit ist der Satz bewiesen.